General Variational Theory of the Flight Paths of Rocket-Powered Aircraft, Missiles and Satellite Carriers

Abstract

General equations are presented for analyzing the optimum flight paths of rocket-powered aircraft, missiles and satellites. The Earth is assumed spherical; the variability of the acceleration of gravity with the altitude is accounted for.

The variational question is investigated within the general frame of the problems of Mayer type, i. e., as the problem of minimizing the difference ΔG between the final and initial values of an arbitrarily specified function G (X, h, V, θ, m, t) of range, altitude, velocity, path inclination, mass and time.

A characteristic of the general problem is that it embodies three degrees of freedom. They are, respectively, associated with the simultaneous optimization of the time history of lift, thrust modulus and thrust direction. Special problems involving either one or two degrees of freedom are investigated by the introduction of additional constraining equations.

Excluding a few exceptional cases, the totality of extremal arcs is generally composed of zero-thrust sub-arcs, sub-arcs flown with maximum engine output, and variable-thrust sub-arcs. Thus, discontinuous solutions are found and discussed in the light of the Erdmann-Weierstrass corner conditions. The results presented here generalize, in a single unified theory, large segments of previous treatments developed by the author and other researchers.

For the case of a flat Earth, particular attention is devoted to some special classes of trajectories, such as: vertical paths associated with problems where G = G (h, V, m, t); level paths associated with functional forms of the type G = G (X, V, m, t); arbitrarily inclined rectilinear paths associated with problems where G = G (X, h, V, m); curvilinear trajectories flown with negligible induced drag; non-lifting paths imbedded in an isothermal medium; and vacuum flight trajectories.

For several of the above particular cases, closed form expressions are derived for the distribution of Lagrange multipliers and the optimizing condition. Some first integrals are determined for the equations of motion and the set of Euler equations. Furthermore, a complete formulation of the boundary conditions is supplied by means of the general transversality condition; its application is shown to typical flight paths of Earth satellites and intercontinental missiles.

Zusammenfassung

Es werden allgemeine Gleichungen für die Auswertung der optimalen Flugbahnen von raketenangetriebenen Flugzeugen, Flugkörpern und Satelliten angegeben. Die Erde wird kugelförmig angenommen; die Veränderlichkeit der Schwerebeschleunigung mit der Höhe wird berücksichtigt.

Das Variationsproblem wird untersucht im Rahmen der Probleme vom Mayer-Typ, das ist der Aufsuchung der Mindestdifferenz ΔG zwischen Anfangs- und Endwert einer willkürlich bestimmten Funktion G (X, h, F, θ, m, t) von Reichweite, Höhe, Geschwindigkeit, Bahnneigung, Masse und Zeit.

Das allgemeine Problem umfaßt drei Freiheitsgrade. Diese sind beziehungsweise verknüpft mit der gleichzeitigen Optimalisierung des zeitlichen Ablaufs der Auftriebskraft, des Schubmoduls und der Schubrichtung. Spezielle Probleme, die nur einen oder zwei Freiheitsgrade betreffen, werden mittels Einführung von zusätzlichen Beschränkungsgleichungen behandelt.

Mit Ausnahme einiger Sonderfälle besteht die Mannigfaltigkeit aller extremen Bahnstreckenteile aus Bögen, die entweder ohne Schub oder mit Maximalschub oder mit veränderlichem Schub durchflogen werden. So werden unterbrochene Lösungen gefunden, die im Lichte der Erdmann-Weierstrassschen Eckbedingungen besprochen werden. Die Resultate, wie sie hier dargestellt werden, vereinigen in einer einheitlichen Theorie eine Reihe von früheren Arbeiten des Verfassers und anderer Forscher.

Besondere Aufmerksamkeit wird unter der Annahme einer flachen Erde auf einige bestimmte Klassen von Flugbahnen gelenkt, wie z. B. vertikale, wo G = G (h, V, m, t); waagrechte, wo G = G (X, V, m, t); beliebig geneigte geradlinige, wo G = G (X, h, V, m); gekrümmte Flugbahnen mit vernachlässig barem, induziertem Widerstand; auftriebslose in isothermer Umgebung; und schließlich Flugbahnen im luftleeren Raum.

Für einige dieser speziellen Fälle werden geschlossene Ausdrücke für die Verteilung der Lagrangeschen Faktoren und die Optimalisierungsbedingung abgeleitet. Einige erste Integrale werden für die Bewegungsgleichungen und die Gruppe von Euler-Gleichungen bestimmt. Ferner wird eine vollständige Formulierung der Grenzbedingungen mittels der allgemeinen Transversalitätsbedingung angegeben und ihre Anwendung auf typische Anflugbahnen von Erdsatelliten und Fernraketen gezeigt.

Résumé

Des équations générales sont présentées, pour analyser les trajectoires de vol optimum d’avions propulsés par fusée, de missiles et de satellites. On suppose que la Terre est sphérique; on tient compte de la variation de l’accélération de la pesanteur avec l’altitude.

Le problème aux variations est étudié dans le cadre général des problèmes du type de Mayer, c. a. d., comme le problème de minimiser la différence ΔG entre la valeur finale et initiale d’une fonction G (X, h, V, θ, m, t) arbitrairement définie du rayon d’action, de l’altitude, de la vitesse, de l’inclinaison de la trajectoire, de la masse et du temps.

Le problème général est caractérisé par le fait qu’il comprend trois degrés de liberté, qui sont associés respectivement, avec l’optimisation simultanée de la variation avec le temps de la portance, du module de la poussée, et de la direction de la poussée. Les cas particuliers comprenant un ou deux degrés de liberté sont étudiés en introduisant des équations supplémentaires de liaison.

A part quelques cas exceptionnels, la totalité des arcs extremaux est généralement composée d’arcs partiels parcourus avec une poussée nulle, avec une poussée maximum, et avec une poussée variable. Ainsi, des solutions discontinues sont obtenues et sont discutées à l’aide des conditions de Erdmann-Weierstrass. Les résultats présentés ici généralisent, en une seule théorie, nombre d’études précédentes dues à l’auteur et à d’autres auteurs.

Quelques classes particulières de trajectoires ont été tout spécialement étudiées, dans l’hypothèse d’une Terre plate, ce sont: les trajectoires verticales associées avec les problèmes où G = G (h, V, m, t); les trajectoires à altitude constante associées avec les fonctions de la forme G = G (X, V, m, t); les trajectoires rectilignes arbitrairement inclinées associées avec les problèmes où G = G (X, h, V, m); les trajectoires curvilignes parcourues avec une traînée induite négligeable; les trajectoires à portance nulle dans un milieu isotherme; les trajectoires parcourues dans le vide.

Pour quelques uns des cas particuliers cités ci-dessus, des expressions analytiques sont obtenues pour la distribution des multiplicateurs de Lagrange et pour la condition d’optimisation. Quelques intégrales premières des équations du mouvement et des équations d’Euler sont obtenues. De plus, une expression complète des conditions aux limites est donnée grâce à la condition générale de transversalité; son application à des trajectoires typiques de satellites et d’engins intercontinentaux est indiquée.

This research was supported by the United States Air Force, through the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command, under Contract No. AF 18(603) — 69 and is a condensed version of the investigation described in [15]. — Published in Astronaut. Acta 4, 264-288 (1958).