Low Reynolds number oscillatory flow past a slowly rotating sphere

Summary

In this paper the flow of a Newtonian viscous fluid, oscillating with angular velocityλ and amplitudeV _∞, past a rigid sphere of radiusa which is slowly rotated with angular velocity ω is studied. Denoting the kinematic viscosity of the fluid byv, three parameters are involved in the analysis, namely: the Reynolds numberR =V _∞ α/v and the Taylor numbersτ=a ²ω/v andσ=a ² gl/v. Asymptotic approximation is employed assuming thatR andτ are small whileσ is arbitrary. In the leading approximation, the swell velocity represents a double roll system while the oscillatory radial and polar velocities are reminiscent of Stokes (1851) celebrated solutions. In the terms of orderτ ²/R approximation, the swell velocity is suppressed while the remaining two velocities are purely steady and independent ofσ. When the approximation is of orderR, the swell velocity is now purely oscillatory while the radial and polar velocities exhibit steady streaming components on which are superimposed oscillatory components. A quantitative study reveals that the steady streaming velocities are larger whenσ is small than when it is large.

Résumé

Cet article étudie l'écoulement d'un fluide de Newton visqueux oscillant avec une vitesse angulaireλ et une amplitudeV _∞ autour d'une sphère rigide, de rayona, tournant lentement sur elle-même à la vitesse angulaire ω. Siv est la viscosité d'écoulement, trois paramètres sont utilisés pour cette analyse: le nombre d ReynoldsR =V _∞ α/v les nombres de Taylorτ=a ² w/v et σ=a ² λ/v. On emploie une approximation asymptotique pourR etτ petits, σ quelconque. Dans la partie déterminante de l'approximation, la vitesse de rotation est celle d'un système à double roulement alors que les vitesses d'oscillation radiale et tangentielle rapellent les célèbres équations de Stokes (1851). Si l'approximation est d'ordreτ ²/R, la vitesse de rotation disparaît alors que les autres vitesses sont de nature non-oscillatoires et indépendantes deσ. Si l'approximation est d'ordreR, la vitesse de rotation est uniquement de nature oscillatoire tandis que les vitesses radiales et tangentielles ont des composantes à caractère stationaire auxquelles se superposent des composantes oscillatoires. Une étude quantitative révèle que ces composantes stationaires sont d'autant plus importantes queσ est petit.