Lighthill transpiration velocity revisited: An exact formulation

Abstract

The Lighthill transpiration-velocity correction is commonly used in the analysis of viscous flows of aeronautical interest, in order to take into account the perturbation to the potential flow caused by the presence of the vorticity in the boundary layer. This correction consists of considering the boundary as a permeable surface from which the fluid flows through the boundary surface, with a velocity (named the transpiration velocity) determined on the basis of the local boundary-layer characteristics. Here, we use a new potential-vorticity decomposition in order to derive an exact representation of the effects of the vorticity on the external flow. The relationship between approximate transpiration-velocity representation and the exact one presented here is analyzed: it is shown that, under typical boundary-layer assumptions, the new representation reduces to that by Lighthill, except for a corrective field term. Finally, in order to quantify, in a simple case, the contribution of the corrective terms which arise in the new formulation, we examine, as a numerical test case, the problem of an attached boundary-layer flow over a flat plate: the numerical results indicate that the corrective term is negligible for Reynolds numbers above 10⁴.

Sommario

Nell'analisi di flussi viscosi di interesse aeronautico, la perturbazione al flusso esterno, dovuta agli effetti della viscosità che si manifestano al contorno, è comunemente approssimata mediante la velocità di traspirazione. Tale approssimazione consiste nell'assumere l'esistenza di un flusso uscente dalle pareti stesse, avente velocità (detta di traspirazione) determinata sulla base delle caratteristiche locali dello strato limite. In questo lavoro, tramite lo sviluppo di una nuova decomposizione potenziale-vorticità per il campo di velocità, viene derivata una formulazione esatta per la descrizione degli effetti dello strato limite sul flusso esterno. Questa viene confrontata con la rappresentazione approssimata del potenziale esterno basata sulla velocità di traspirazione: si mostra che, sotto tipiche ipotesi di strato limite, la nuova si riduce a quella di Lighthill, a meno di un termine correttivo di campo. Infine, per valutare quantitativamente il contributo del termine di campo presente nella nuova formulazione, vengono presentati i risultati numerici relativi al semplice caso di uno strato limite attaccato generato dal moto traslatorio uniforme di una lastra piana: essi indicano che il termine correttivo è trascurabile per numeri di Reynolds superiori a 10⁴.