A discrete probabilistic model for mechanical response of a granular medium

Summary

A study has been made of the compressibility and force transmission in a granular material, modeled as a two-dimensional random packing of like spheres in elastic contact. The packing geometry is represented by a stochastic planar graph, with the nodes of the graph taken as centers of the spheres and the branches, as contacts between adjacent spheres. The stochastic graph is replaced by a lattice each of whose branches has a random stiffness modulus assigned to it. The corresponding set of stiffness moduli is considered a two-dimensional random process characterized by the porosity, average coordination number and internal-angle distribution of the packing. For mechanical response calculations, the lattice is treated as an elastic structure with branch stiffness in the form of the Hertz contact law, and analyzed by the node method.

For a granular assemblage loaded by uniform pressure, computations show that the model yields a larger compressibility than that predicted by Brandt's theory. Moreover, Brandt's assumption of the equality of contact forces is not borne out. On the contrary, it was found that the contact forces vary in magnitude over a large range of values and that, indeed, a sizable fraction (approximately 20%) of the sphere contacts support no load whatever. Finally, statistical measures of the random packing other than porosity and average coordination number are shown to affect results significantly.

Zusammenfassung

Untersucht wurden die Kompressibilität und die Kräfteübertragung in einer körnigen Substanz, die als zweidimensionale Zufallspackung von gleichmäßigen, elastisch einander berührenden Kugeln angesetzt wird. Die Packungsgeometrie wird durch einen stochastischen zweidimensionalen Graph dargestellt, wobei die Knoten des Graphen als Kugelzentren und die Zweige als Kontakte zwischen benachbarten Kugeln angenommen werden. Der stochastische Graph wird durch ein Gitter ersetzt, dessen Zweigen ein zufälliger Steifheitsmodul zugeordnet ist. Die so entstandene Menge der Steifheitsmoduln wird als zweidimensionaler zufälliger Vorgang betrachtet, der durch die Porösität, die mittlere Koordinationszahl und die Innenwinkelv rteilung der Packung gekennzeichnet wird. Zur Berechnung des mechanischen Verhaltens wird das Gitter als elastische Struktur, deren Zweigsteifigkeit dem Hertzschen Kontaktgesetz entspricht, behandelt und nach dem Knotenverfahren analysiert.

Für die mit gleichmäßigem Druck belastete körnige Anhäufung zeigen die durchgeführten Berechnungen, daß der Ansatz gegenüber der Brandtschen Theorie eine größere Kompressibilität ergibt. Ferner wird die Brandtsche Annahme einer Gleichheit der Berührungskräfte nicht bestätigt. Im Gegenteil wurde gefunden, daß die Größen der Berührungskräfte von ihrem Mittelwert stark abweichen und daß in der Tat ein merkbarer Teil (ca. 20%) der Kugelkontakte überhaupt keine Last trägt. Schließlich wird bewiesen, daß außer der Porösität und der mittleren Koordinationszahl auch andere statistische Maße der Zufallspackung bedeutenden Einfluß auf die Ergebnisse haben.