On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies

Summary

When a solid element experience large deformations, the components of stress will, in general, vary as a result of material rotation. These changes occur even in the absence of additional strain, and need to be accounted for in formulating constitutive laws that involve the rate of change of stress. In this paper the correction terms are extended to the case when material axes become strongly skewed. An expression for the rate of material rotation as an explicit function of vorticity, rate of deformation and stretch is derived. It is then shown that the rate of change of stress depends on the rate of material rotation. As an example, expressions for material rotation and stress are derived for a hypoelastic material undergoing uniform, rectilinear, shear. The shear stress is compared with a solution that neglects skewing of the axes, and it is found that, for the example, skewing may be neglected for strains less than 0.4. Finally, the use of these relations in numerical calculations involving finite deformation is discussed.

Zusammenfassung

Wenn ein Festkörper große Verformungen erfährt, werden sich die Spannungskomponenten im allgemeinen als Folge der Materialrotation ändern. Diese Veränderungen treten sogar in Abwesenheit zusätzlicher Verzerrung auf, und müssen bei der Formulierung der Zustandsgleichungen, welche die Rate der Spannungsänderung berücksichtigen, in Betracht gezogen werden. In dieser Arbeit werden die Korrekturglieder erweitert zu dem Fall, wenn die materialachsen stark schräg zueinander werden. Abgeleitet wird ein Ausdruck für die Werkstoffrotationsgeschwindigkeit als eine explizite Funktion der Wirbel, Verformungs-und Ausdehnungsgeschwindigkeit. Es wird dann gezeigt, daß die Änderung der Spannung von der Materialrotationsgeschwindigkeit abhängig ist. Als Beispiel werden Ausdrücke für Werkstoffrotation und Spannung für einen hypo-elastischen Werkstoff, der gleichförmigen, geradlinigen Schub aufweist, hergeleitet. Die Schubspannung wird mit einer Lösung verglichen, die die Schräge der Achsen vernachlässigt, und es ergibt sich, daß, für dieses Beispiel, die Schräge für Verzerrungen weniger als 0,4 zu vernachlässigen ist. Abschließend wird die Anwendung dieser Beziehungen in numerischen Rechnungen für endliche Deformationen erörtert.