Numerical calculation of stress relaxation modulus from dynamic data for linear viscoelastic materials

Summary

Numerical formulae are given for calculation of stress relaxation modulus from the known course of the storage and loss modulus with frequency for linear viscoelastic materials. The formulae involve values of the storage modulus and/or loss modulus at frequencies equally spaced on a logarithmic frequency scale, the ratio between successive frequencies beeing two.

A method is introduced by which bounds for the relative errors of these formulae can be derived. These bounds depend on the value of the damping, tanδ, at the angular frequency,ω, for which the calculation is made. The less the damping, the simpler the calculation of the stress relaxation modulus. This calculation involves either the value of the storage modulus at a frequencyω ₀ = 1/t, and the values of the loss modulus in a rather narrow frequency region aroundω ₀, or the value of the storage modulus at frequencyω ₀ and the derivative of the storage modulus with respect to the logarithm of frequency in a frequency region aroundω ₀.

Zusammenfassung

Numerische Formeln werden gegeben, die die Berechnung des Spannungsrelaxationsmoduls aus dem dynamischen Modul ermöglichen. In diesen Formeln treten Werte des Speichermoduls und Verlustmoduls auf, die bei logarithmisch äquidistanten Frequenzen gemessen wurden. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Frequenzen entspricht stets einem Faktor 2.

Für alle Formeln werden obere und untere Schranken für den relativen Fehler abgeleitet. Diese Schranken hängen vom Werte der Dämpfung (tanδ) ab, die bei der Kreisfrequenzω ₀ auftritt, für die die Berechnung erfolgt. Die Berechnung des Relaxationsmoduls ist um so einfacher, je niedriger der Wert der Dämpfung ist. Zu dieser Berechnung benötigt man entweder den Wert des Speichermoduls bei der Kreisfrequenzω ₀=1/t und die Werte des Verlustmoduls in einem ziemlich engen Frequenzintervall umω ₀, oder den Wert des Speichermoduls bei der Kreisfrequenzω ₀ und den Wert der logarithmischen Frequenzableitung des Speichermoduls in einem Frequenzintervall umω ₀.