The integral equations for round buoyant jets in stratified flows

Abstract

The basic integral equations governing the behavior of a round, buoyant momentum jet discharged into an infinite, stratified, turbulent, flowing ambient fluid are derived. The analysis is based on the fundamental partial differential equations for conservation of mass. momentum, concentration and heat energy, transformed by vector operations into a natural coordinate system and integrated in the angular and radial directions using symmetry and similarity assumptions. The common Boussinesq-assumption has not been used. The resulting set of non-linear first-order differential equations differs from previous systems similarly based on integral methods, and which are presently used to model spreading and dilution of chimney gases in the atmosphere or of waste water in the ocean. The differences caused by mathematical errors and methodological inconsistencies in the previous approaches are pointed out and discussed.

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit werden die Integralgleichungen zur Berechnung des Ausbreitungsverhaltens runder turbulenter Auftriebsstrahlen in näherungsweise unendlich ausgedehnten, geschichteten und turbulenzbchafteten Querströmungen hergeleitet. Hierzu werden die partiellen Differentialgleichungen der Strömungsmechanik für die Erhaltung von Masse, Impuls. Energie und Fremdstoffbeimengungen in ein problemspezifisches Koordinatensystem transformiert und unter Verwendung der üblichen Symmetrieund Ähnlichkeitsannahmen in azimutaler und radialer Richtung integriert. Die übliche Boussinesq-Vereinfachung wird nicht angewendet. Die sich ergebenden gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung unterscheiden sich signifikant von jenen, die den derzeit gebräuchlichen, ebenfalls auf Integralverfahren basierenden mathematischen Modellen zur Berechnung von Abgasemissionen in die Atmosphäre bzw. Kühl-oder Abwassereinleitungen ins Meer zugrundeliegen. Die die Abweichungen verursachenden Fehler mathematischer und methodischer Art werden aufgezeigt und diskutiert.