V-positivity, poverses and the economic global unicity theorems of Gale and Nikaido

Summary

Strong theorems concerning globally unique solutions to nonlinear inequalities have been obtained byGale andNikaido via P-matrix characterizations of theJacobians of the mappings involved. We introduce two new concepts here: “v-positivity” and the “poverse”. These permit us to state and prove significant generalizations of the theorems just mentioned and, equally important, provide access to preliminary results concerning linear inequalities by the powerful direct techniques of linear programming theory.

Zusammenfassung

Gale undNikaido haben starke Sätze über globale, eindeutige Lösungen nichtlinearer Ungleichungen erhalten für den Fall, daß dieJacobi- Matrix der auftretenden Abbildung eineP-Matrix ist. Darauf aufbauend werden zwei neue Konzepte vorgestellt: “v-positivity“ und die „poverse“. Diese erlauben es, Verallgemeinerungen der erwähnten Sätze aufzustellen und zu beweisen und, was von gleicher Bedeutung ist, die Verbindung zu früheren Ergebnissen über lineare Ungleichungen durch die wirkungsvollen direkten Verfahren der Theorie der Linearen Optimierung herzustellen.