On stochastic integer programming

Summary

The probability distribution of the optimum (Z) of an integer linear program is discussed in which the elements of the right-hand-side (RHS) are distributed independently. The assumptions of the asymptotic algorithm ofGomory are supposed to hold for each realization of the RHS. This algorithm serves also as the theoretic framework of the present communication. Bounds and approximations for the probability function of Z are derived demanding different levels of numerical efforts. The normal distribution is a satisfactory approximation which is asymptotically correct if the elements of the RHS are uniformly distributed within bounds satisfying some requirements and the number of inequalities approaches infinity.

Zusammenfassung

Im vorliegenden Aufsatz wird die Verteilung des optimalen Wertes Z der Zielfunktion von ganzzahligen linearen Programmen diskutiert, bei denen die Elemente der rechten Seite voneinander unabhängig verteilt sind. Hierbei wird unterstellt, daß die Annahmen, die beim asymptotischen Algorithmus vonGomory gemacht werden, für jede Realisation der rechten Seite Gültigkeit besitzen. Der soeben erwähnte asymptotische Algorithmus dient weiterhin als Rahmen für die weiteren Darstellungen.

Im folgenden werden für die Verteilungsfunktion von Z Schranken und Approximationen vorgeschlagen, deren Ermittlung unterschiedlich rechenaufwendig ist. Es wird gezeigt, daß die Normalverteilung dann eine annehmbare Approximation darstellt, wenn die Elemente der rechten Seite in bestimmten Grenzen gleichverteilt sind, und wenn die Zahl der Nebenbedingungen nach Unendlich strebt.