Zur Formulierung der Randbedingungen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten mit Injektion und Absaugung an den Wänden

Zusammenfassung

Es wird die Strömung einerOldroyd-Flüssigkeit B im Spalt zwischen zwei parallel angeordneten, in ihrer eigenen Ebene stationär bewegten Platten analysiert unter der zusätzlichen Bedingung, daß an einer der Platten eine räumlich und zeitlich konstante Injektion und an der anderen eine entsprechende Absaugung erfolgt. Zur Formulierung angepaßter Randbedingungen wird das Problem in der Weise idealisiert, daß der ganze Raum als mit Flüssigkeit gefüllt betrachtet wird und anstelle der Plattenberandungen zwei gleichmäßig mit Flächenkräften belegte Ebenen angeordnet sind. Für diese Ebenen werden Anschluß- und Sprungbedingungen bestimmt, und es wird die Existenz von asymptotischen Werten der Geschwindigkeit auf beiden Plattenseiten postuliert. Diese Bedingungen reichen aber im allgemeinen nicht zur vollständigen Bestimmung des Problems aus, sondern es muß bezüglich der Injektionsplatte noch die Bedingung der „Rückwärtsabschirmung“ hinzugefügt werden.

Die Lösungen des so definierten Problems werden in dimensionsloser Form angegeben und diskutiert. Dabei wird besonders auf den Spezialfall verschwindender Retardation (Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B) eingegangen, denn in diesem Fall führen die Randbedingungen zu Sprüngen in der Geschwindigkeit, und beim Überschreiten einer kritischen Absauggeschwindigkeit („Schallgeschwindigkeit“) ändert sich das Strömungsfeld unstetig in bemerkenswerter Weise.

Weiterhin wird einsichtig gemacht, daß das Problem im allgemeinen nicht mit einer „Approximation für langsame Strömungen“ (Rivlin-Ericksen-Flüssigkeit) zu lösen ist, sondern nur in dem Spezialfall, daß die Injektionsfläche ins Unendliche rückt. In diesem Fall werden Lösungen für eine „Approximation zweiter Ordnung“ angegeben und mit den strengen Lösungen verglichen.

In zwei Anhängen werden schließlich die in der Untersuchung auftretenden Ausdrücke für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen und für den Deformationsverlauf beim Kriech- und Kriecherholungsversuch kurz abgeleitet.

Summary

The problem of flow of anOldroyd fluid B between two parallel plates, both moving steadily in their own planes, is analysed. Additionally it is assumed that the fluid is injected with uniform and constant velocity at one plate and is sucked at the other. In order to formulate the boundary conditions in an appropriate manner the problem is idealized in such a way that the whole space is taken to be filled with fluid and instead of porous plates there are two singular planes with uniformly distributed forces. For these planes matching and jump conditions are stated and the existence of asymptotic velocities on both sides are postulated. But, in general, these conditions are not sufficient for the solution of the problem and a further condition, namely that of “back-shielding” at the plate with injection, has to be introduced.

The solutions of the above defined problem are given in dimensionless form and discussed in detail. Emphasis is laid on the special case with vanishing retardation (Maxwell-Oldroyd fluid B) because the boundary conditions result here in jumps in velocity, and when a critical value of suction velocity (“velocity of sound”) is attained the flow field changes its character unsteadily in a remarkable manner.

Further it is elucidated that the problem in general cannot be solved by the method of “approximation for slow flows” (Rivlin-Ericksen fluid) but only in that particular case in which the injectional area is taken to be at infinity. For this case solutions for second-order approximation have been given and are compared with the exact solutions.

Finally, in two appendices, the expressions for the velocity of propagation of transversal sound waves and for the slope of deformation in the so-called creep and creep-recovery experiment respectively, which are used in the above investigation, are derived in short.