Remarks on the stability of high-index DAEs with respect to parametric perturbations

Abstract

It is well-known that linear time-varying high-index DAEs can be very sensitive to parametric perturbations, [1, p. 31]. Stability is also affected, as is known from singular perturbation theory. In this note, we show that arbitrarily small and smooth perturbations can cause dramatic instabilities by introducing “small” perturbations of the matrix pencil's generalized eigenvalues atz=∞, leading to large positive finite eigenvalues. The smaller the perturbation, the larger is the instability of the perturbed problem, in contrast to the ODE case. Some high-index problems can thus be considered as marginally stable, with neighboring problems (usually of lower index) exhibiting severe instabilities.

Zusammenfassung

Es ist bekannt, daß Algebrodifferentialgleichungen von höherem Index sehr empfindlich gegenüber Parameteränderungen sein können [1, p. 31]. Ebenso ist aus der Theorie der singulär gestörten Probleme bekannt, daß auch die Stabilitätseigenschaften bei derartigen Störungen sich ändern können. In diesem Aufsatz zeigen wir, daß beliebig kleine, glatte Störungen Instabilitäten dadurch verursachen können, daß die verallgemeinerten Eigenwerte des zugehörigen Matrizenbüschels beiz=∞ zu großen positiven Eigenwerte verfälscht werden. Das Problem wird dadurch umso instabiler je kleiner die Störung des Ausgangsproblems ist, ganz im Gegensatz zu der Situation bei expliziten DGLn. Auf diese Weise können einige Probleme von höherem Index als ein stabiler Grenzfall von benachbarten hoch instabilen Problemen, gewöhnlich von niedrigerem Index, angesehen werden.