Klassische Runge-Kutta-Nyström-Formeln mit Schrittweiten-Kontrolle für Differentialgleichungen$\ddot x = f(t, x)$

Zusammenfassung

Es werden neue, explizite Runge-Kutta-Nyström-Formeln für Differentialgleichungen der Form$\ddot x = f(t, x)$ mitgeteilt. Diese Formeln enthalten eine Schrittweiten-Kontrolle, die auf einer vollständigen Erfassung des ersten Gliedes des lokalen Abbruchfehlers in x basiert. Die Formeln erfordern — pro Integrationsschritt — weniger Auswertungen der Differentialgleichungen als die früher vom Verfasser mitgeteilten Runge-Kutta-Formeln für Differentialgleichungen erster Ordnung. Ein numerisches Beispiel wird gebracht, in dem unsere neuen Formeln — bei gleicher Genauigkeit —nur etwa 25% bis 50% der Rechenzeit unserer Runge-Kutta-Formeln benötigen.

Abstract

New explicit Runge-Kutta-Nyström formulas for differential equations of the type$\ddot x = f(t, x)$ are presented. These formulas include a stepsize control procedure based on a complete coverage of the leading term of the local truncation error inx. The formulas require fewer evaluations per step than our Runge-Kutta formulas for first-order differential equations. A numerical example is presented. For results of the same accuracy, the computer time for the new formulas is only about 25% to 50% of the time for the corresponding Runge-Kutta formulas.