On the natural interpolation formula for cauchy type singular integral equations of the first kind

Abstract

A Cauchy type singular integral equation of the first kind can be numerically solved either directly, through the use of a Gaussian numerical integration rule, or by reduction to an equivalent Fredholm integral equation of the second kind, where the Nyström method is applicable. In this note it is proved that under appropriate but reasonable conditions the expressions of the unknown function of the integral equation, resulting from the natural interpolation formulae of the direct method, as well as of the Nyström method, are identical along the whole integration interval.

Zusammenfassung

Eine singuläre Integralgleichung erster Art vom Cauchy-Typ kann entweder direkt, mittels einer Gaußschen numerischen Integrationsformel, oder durch Reduktion auf eine äquivalente Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art, wo die Nyström-Methode anwendbar ist, gelöst werden. In dieser Arbeit wird bewiesen, daß unter geeigneten und sinnvollen Bedingungen die Ausdrücke der unbekannten Funktion der Integralgleichung, die einerseits bei den natürlichen Integrationsformeln der direkten Methode und anderseits bei der Nyström-Methode entstehen, im ganzen Integrationsintervall gleich sind.