Galerkin-Runge-Kutta methods and hyperbolic initial boundary value problems

Abstract

Inhomogeneous but time-homogeneous linear hyperbolic initial boundary value problems are solved using Galerkin procedures for the space discretization and Runge-Kutta methods for the time discretization. The space discretized system is not transformed a-priori in a linear system of first order. For the difference of the Ritz projection of the exact solution and the numerical approximation error estimates are derived under the assumption that the applied Runge-Kutta methods have a non-empty interval of absolute stability. It is shown that this class of schemes is not empty in the present case of second order systems, too.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der numerischen Lösung inhomogener linearer hyperbolischer Anfangsrandwert-probleme, die zeitlich homogen sind. Das analytische Problem wird zunächst mit Hilfe von Galerkinverfahren in den Raumveränderlichen diskretisiert. Dann wird das resultierende semidiskrete System ohne vorherige Transformation durch Runge-Kutta-Verfahren approximiert. Für die Differenz zwischen der Ritzprojektion der exakten Lösung und dem numerischen Ergebnis werden Fehlerabschätzungen hergeleitet unter der Voraussetzung, daß das verwendete Runge-Kutta-Verfahren ein nichtleeres Intervall absoluter Stabilität besitzt. Ein Beispiel zeigt, daß solche Verfahren auch für Systeme zweiter Ordnung existieren.