Minimierung des Rechenaufwandes bei Globalisierungen spezieller Iterationsverfahren vom Typ Minimales Residuum

Zusammenfassung

Lokale Iterationsverfahren zur Lösung von nichtlinearen OperatorgleichungenT(x)=0 können mit der Methodik der Einbettung „globalisiert” werden, d. h. man benötigt dann keine Startwertex ₀ aus der unmittelbaren Umgebung einer Lösung$\bar x$.

Wir beschränken uns auf Stufenverfahren — siehe etwa [17] —, bei denen man die ProblemketteT(x, s _i )=0, 0=s ₀<s ₁<...<s _N =1, durch jeweils ein lokales Iterationsverfahren mit der Lösungx _i−1 vonT(x, s _i−1)=0 als Startvektor löst. Untersucht werden hier Verfahren vom Typ „minimales Residuum”. Es lassen sich Aussagen machen über die Minimierung des Gesamtaufwandes durch Wahl einer „optimalen” Stufenbreite. Weiters kann eine Gesamtkonvergenzbeschleunigung erreicht werden durch geeignete Anpassung von (linearer) Interpolation an die Stufenbreite.

Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich ohne prinzipielle Schwierigkeiten übertragen auf jedes andere lokale Iterationsverfahren, das auf dem Kontraktionsprinzip beruht.

Abstract

Local iteration methods for the solution of nonlinear operator equationsT(x)=0 can be “globalized” by the method of embedding. This means that the initial valuex ₀ need not be in the neighbourhood of a solution$\bar x$.

We restrict ourselves to a stepwise calculation — see [17] — where one solves the chain of problems:T(x, s _i )=0, 0=s ₀<s ₁<...<s _N =1 by a local iteration method with the solutionx _i−1 ofT(x, s _i−1)=0 used as initial vector forT(x, s _i )=0. In this paper we examine methods of minimal-residue-type. Results on the minimization of the whole effort by selection of an “optimal” step width can be obtained. Furthermore, a global convergence acceleration can be reached by suitable adaption of (linear) interpolation on the step width. The reslts obtained can be transferred without difficulties to any other local iteration method which is based on the principle contraction.