An approximation theory for boundary value problems on infinite intervals

Abstract

Boundary value problems for ordinary differential equations on infinite intervals are often solved by restricting the problem to a large but finite interval and imposing certain supplementary boundary conditions at the far end. The success of this procedure depends on the proper choice of these conditions. For a rather general class of problems we give a characterization of all possible supplementary boundary conditions which work, examine the rate of convergence of the solution of the “finite” problem to that of the original “infinite” problem as the interval length of the finite problem tends to infinity, and describe the supplementary boundary conditions for which this rate is optimal.

Zusammenfassung

Ein mögliches Verfahren zur numerischen Lösung von Randwertproblemen auf unendlichen Intervallen besteht darin, das unendliche Intervall durch ein endliches zu ersetzen und zusätzliche Randbedingungen am entfernten Intervallende aufzuerlegen, in denen das asymptotische Verhalten der Lösung zum Ausdruck kommt. In dieser Arbeit wird für eine recht allgemeine Klasse von Differentialgleichungen die Menge aller zusätzlichen Randbedingungen charakterisiert, für welche die Lösung des „endlichen” Problems bei wachsender Intervallänge gegen die Lösung des „unendlichen” Problems konvergiert. Weiters wird die Konvergenzgeschwindigkeit abgeschätzt, und es werden die „optimalen” Randbedingungen beschrieben, die zu einer möglichst schnellen Konvergenz führen.