Iterationsverfahren bei der konformen Abbildung

Zusammenfassung

Bei der konformen Abbildung des Inneren des Einheitskreises auf ein einfach zusammenhängendes Gebiet nach der Methode vonTheodorsen tritt eine singuläre nichtlineare Integralgleichung auf. Durch Diskretisation entsteht daraus ein nichtlineares Gleichungssystem, mit dessen iterativer Lösung wir uns beschäftigen. Es wird ein Satz bewiesen, der besagt, daß das Einzelschrittverfahren doppelt so schnell konvergiert wie das Gesamtschrittverfahren (für das ein Konvergenzsatz vonOpitz, Ostrowski undSaltzer bewiesen wurde). Im nächsten Abschnitt wenden wir das SOR-Verfahren (Successive Over-Relaxation) auf die beimNewton-Verfahren in jedem Schritt entstehenden linearen Gleichungssysteme an; der Rechenaufwand kann, verglichen mit direkten Verfahren, besonders bei großen Systemen stark reduziert werden. Schließlich wird vorgeschlagen, das SOR-Verfahren direkt beim nichtlinearen System anzuwenden. Vermutungen über die “Konvergenzgrenze” und den “optimalen Relaxationsfaktor” werden durch ein numerisches Beispiel erhärtet.

Summary

We consider the conformal mapping of the interior of the unit circle onto the interior of a general closed curve by the method ofTheodorsen. There is to solve a singular nonlinear integral equation. By discretisation one gets a system of nonlinear equations; we examine different iterative methods of solving this system. A theorem is proved which says that the single step iteration converges twice as fast as the total step iteration (on the latter a convergence theorem ofOpitz, Ostrowski andSaltzer is known). In the next section we apply the SOR-method (Successive Over-Relaxation) to the systems of linear equations which appear at every step of theNewton-method. Compared with direct methods the computational work is reduced, especially on great systems. Finally we propose to apply the SOR-method directly to the nonlinear system. Conjetures on the “limit of convergence” and the “optimal relaxation factor” are confirmed by an example.