A weak-separation solution of Helmholtz’ equation with spheroidally symmetric boundaries

Summary

A solution of Helmholtz’ equation with boundaries having spheroidal symmetry is obtained directly in the form of a power series in eccentricity. The partial differential equation is expressed in a nonorthogonal, « modified spheroidal » co-ordinate system, and a « weak separation » method is used to solve the resulting nonseparable equation. The resulting solution is found to be more convenient than the usual spheroidal-function solution.

Riassunto

Si ottiene una soluzione dell’equazione di Helmholtz con contorni a simmetria sferoidale direttamente sotto forma di una serie di potenze nell’eccentricità. Si esprime l’equazione alle derivate parziali in un sistema di coordinate non ortogonale, « sferoidale modificato », e si usa un metodo di « separazione debole » per risolvere l’equazione non separabile risultante. Si trova che la soluzione che si ottiene è più conveniente della consueta soluzione espressa da funzioni sferoidali.

Реэюме

Рещение уравнения Гельмгольца с границами, имеюшими сферическую симметрию, получается непосредственно в форме степенного ряда по зксцентриситету. Дифференциальное уравнение в частных проиэводных выражается в неортогональной, « модифицированной сфероидальной » системе координат, и испольэуется метод « слабого раэделения » для рещения полученного нераэделяемого уравнения. Покаэывается, что полученное рещение является более удобным, чем рещение в обычных сферических функциях.