Level density for some partially random Hamiltonians

Summary

We study the level density of a random HamiltonianH such that the total configuration space can be split into irreducible subspaces using for example invariance properties. The level density is supposed to be known for each individual subspace and the matrix elements connecting the various subspaces are treated as random variables. A similar problem arises when the Hamiltonian may be written in the formH ₀ +V, whereH ₀ has a known level density andV, the residual interaction, is a random matrix. In both cases, we start from the relation of the level density to the average of the resolvent. We expand the latter in powers of the interaction, and by scaling considerations we get the dominant contributions. The final result is easily obtained when the matrix elements of the residual interaction are statistically independent. Some simple algebraic examples are given; in particular, we recover the « semi-circle » law and indicate some generalizations.

Riassunto

Si studia la densità dei livelli di una hamiltoniana casualeH tale che lo spazio delle configurazioni totale possa essere suddiviso in sottospazi irriducibili usando per esempio le proprietà di invarianza. Si suppone nota la densità dei livelli per ogni sottospazio individuale e si trattano come variabili casuali gli elementi di matrice che collegano i vari sottospazi. Un problema simile sorge quando si può scrivere la hamiltoniana nella formaH ₀ +V, doveH ₀ ha una densità di livelli nota eV, l’interazione residua, è la matrice casuale. In entrambi i casi si parte dalla relazione della densità di livelli con la media del risolvente. Si sviluppa quest’ultima in potenze dell’interazione e con considerazioni di scala si ottengono i contributi dominanti. Si ottiene facilmente il risultato finale quando gli elementi di matrice dell’interazione residua sono statisticamente indipendenti. Si danno alcuni semplici esempi algebrici; in particolare si ritrova la legge del « semicerchio » e si indicano alcune generalizzazioni.

Реэюме

Мы исследуем плотность уровней случайного гамильтонианаH, такого, что полное конфигурационное пространство может быть раэделено на неприводимые подпространства, испольэуя, например, инвариантные свойства. Предполагается, что плотность уровней иэвестна для каждого индивидуального подпространства, и матричные злементы, свяэываюшие раэличные подпространства, рассматриваются, как случайные переменные. Аналогичная проблема воэникает, когда гамильтониан может быть эаписан в формеH ₀ +V, гдеH ₀ имеет иэвестную плотность уровней иV есть остаточное вэаимодействие, которое представляет случайную матрицу. В обоих случаях мы исходим иэ свяэи плотности уровней со средним для реэольвенты. Реэольвенту мы раскладываем по степеням вэаимодействия и с помошью приспосабливания рассмотрений мы получаем основные вклады. Окончательный реэультат легко получается, когда матричные злементы остаточного вэаимодействия являются статистически неэависимыми. Приводятся некоторые простые алгебраические примеры; в частности, мы эаново получаем «полуциклический» эакон и укаэываем на некоторые обобшения.