Quantum-mechanical conjugate of the hamiltonian operator

Summary

Conjugate functions of various classical Hamiltonians are studied and different methods for their construction are presented. From these classical functions, for many dynamical systems, Hermitian operators can be found which depend linearly on time and are conjugates of Hamiltonian operators. The eigenvalues of conjugate operators, under certain conditions, represent the result of measurement of time in nonrelativistic quantum mechanics. Because of this property « time operators » may be used to study the quantum theory of microscopic clocks and to determine their accuracy. For noninteracting relativistic particles with spin zero and spin one-half a direct method of obtaining time operator is given. These conjugate operators have been used to derive well-known relations of the time delay and the rate of change of phase shift with energy in scattering theory.

Riassunto

Si studiano le funzioni coniugate di diverse hamiltoniane classiche e si presentano metodi diversi per la loro costruzione. Da queste funzioni classiche, per molti sistemi dinamici, si possono trovare operatori hermitiani che dipendano linearmente dal tempo e siano coniugati degli operatori hamiltoniani. Gli autovalori degli operatori coniugati, in determinate condizioni, rappresentano il risultato delle misure del tempo nella meccanica quantistica non relativistica. Per questa proprietà, si possono usare gli « operatori di tempo » per studiare la teoria quantistica degli orologi microscopici e per determinare la loro precisione. Per particelle relativistiche non interagenti con spin zero e spin un mezzo si dà un metodo diretto per ottenere gli operatori di tempo. Si sono usati questi operatori coniugati per ricavare le ben note relazioni del ritardo temporale e del rapporto della variazione dello spostamento di fase con l’energia nella teoria dello scattering.

Реэюме

Исследуются сопряженные функции для раэличны классических Гамильтонианов и предлагаются раэличные методы конструирования зтих функций. Для зтих классических функций, для многих динамических систем, могут быть получены зрмитовские операторы, которые линейно эависят от времени и являются сопряженными для операторов Гамильтона. Собственные эначения сопряженных операторов, при определенных условиях, представляют реэультат иэмерения времени в нерелятивистской квантовой механике. Вследствие зтого свойства « временные операторы » могут быть испольэованы для исследования квантовой теории микроскопических часов и для определения их точности. Для невэаимодействуюших релятивистских частиц с нулевым спином и спином половина приводится прямой метод получения временного оператора. Эти сопряженные операторы были испольэованы для вывода хорощо иэвестных соотнощений временного эапаэдывания и скорости иэменения фаэового сдвига с знергией в теории рассеяния.