Extension of the axiomatic analyticity domain of scattering amplitudes by unitarity-I

Summary

It is shown first that any scattering amplitude satisfying fixed transfer dispersion relations for −t ₀ <t≤0 is in fact analytic in the topological product |t|<R×s in the cut plane with cutss=C+λ,s=−t−μ+C′, λ, μ≥0.R is some fixed number. For the pion-pion case,R=4μ² where μ is the pion mass. For pion-pion scattering the domain is extended further by using elastic unitarity. The region of validity of dispersion relations is a certain domain in thet-plane, which contains in particular the real segmentt=-28μ² tot=4μ². The fixed energy sections of the amplitude for not too high energies contain part of the Mandelstam cuts. In particular in the elastic region the analyticity domain of the absorptive part contains part of the Mandelstam double-spectral function. The domain thus obtained is not yet a natural domain both from the pure analytic completion point of view and from the unitarity condition. The investigation is being continued.

Riassunto

Si dimostra dapprima che ogni ampiezza di scattering che soddisfi relazioni di dispersione di trasferimento fisso per −t ₀<t≤0 è in effetti analitica nel prodotto topologico |t|<R×s nel piano del taglio con taglis=C+λ,s=−t−μ+C′, λ, μ≤0.R è un numero prefissato. Nel caso del pione,R=4μ², dove μ è la massa del pione. Per lo scattering pion-pione si estende ulteriormente il dominio facendo uso dell’unitarietà elastica. La regione di validità delle relazioni di dispersione è un certo dominio nel pianot che contiene in particolare il segmento reale dat=-28μ² at=4μ². Le sezioni di energia fissa dell’ampiezza per energie non troppo elevate contengono parte dei tagli di Mandelstam. In particolare nella regione elastica il dominio di analiticità della parte assorbente contiene parte della funzione spettrale doppia di Mandelstam. Questi risultati si possono probabilmente estendere alla ampiezza pione-pione effettiva. Il dominio così ottenuto non è ancora un dominio naturale né dal punto di vista del puro completamento analitico né dal punto di vista della condizione di unitarietà. Lo studio prosegue.