Theory of generalized Bessel functions

Summary

In this paper we discuss the theory of generalized Bessel functions which are of noticeable importance in the analysis of scattering processes for which the dipole approximation cannot be used. We introduce these functions in their standard form and their modified version. We state the relevant generating functions and Graf-type addition theorems. The usefulness of the results to construct a fast algorithm for their quantitative computation is also devised. We comment on the possibility of getting two-index generalized Bessel functions ine.g. the study of sum rules of the type$\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)}$, whereJ _n is the cylindrical Bessel function of the first kind. The usefulness of the results for problems of practical interest is finally commented on. It is shown that a modified Anger function can be advantageously introduced to get an almost straightforward computation of the Bernstein sum rule in the theory of ion waves.

Riassunto

In questo lavoro si discute la teoria delle funzioni di Bessel generalizzate, che assumono notevole rilevanza nell’analisi dei processi di scattering in cui non può essere utilizzata l’approssimazione di dipolo. Si introducono tali funzioni nelle loro forme standard e modificate. Vengono derivate le relative funzioni generatrici e teoremi di addizione di tipo Graf. Si commenta inoltre l’importanza dei risultati ottenuti per costruire un algoritmo numerico per il loro calcolo esplicito. Si discute inoltre la possibilità di ottenere funzioni di Bessel a due indici utili nello studio di regole di somma del tipo$\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)}$, whereJ _n è la funzione di Bessel cilindrica di primo tipo. Si analizza l’utilità dei risultati ottenuti per lo studio di problemi fisici concreti. Si dimostra infine che è possibile introdurre una funzione di Anger modificata per riottenere una derivazione immediata della regola di somma di Bernstein relativa alla teoria delle onde ioniche.

Резюме

В этой статье мы обсуждаем теорию обобщенных функций Бесселя, которые играют важную роль при анализе процессов рассеяния, для которых невозможно использовать дипольное приближение. Мы вводим эти функции в их стандартной форме и их модифицированный вариант. Мы формулируем соответствующие производящие функции и теоремы сложения типа Графа. Отмечается полезность полученных результатов для конструирования быстрого алгоритма для количественных вычислений. Мы отмечаем возможность получения обобщенных функций Бесселя с двумя индексами, например, при исследовании правия сумм типа$\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)}$, whereJ _n , чдеJ _n есть цилиндрическая функция Бесселя первого рода. В заключение указывается полезность этих результатов для проблем, представляющих практический интерес. Показывается, что модифицированная функция Ангера может быть с успехом использована для непосредственного вычисления правила сумм Бернейнстейна в теории ионных волн.