A rotating sphere as a possible source of the Kerr metric

Summary

The gravitational field of a sphere rotating steadily about one of its diameters is calculated, inside and outside the sphere, up to the orderk ⁶ using the Florides-Synge method of successive approximations:k∼(m/b)^1/2, wherem is the mass andb the radius of the sphere. Under the assumption that the constantsm anda appearing in the Kerr (exterior) metric are of orderk ² andk, respectively, it is shown that the Kerr metric, up to the orderk ⁵, is precisely the (exterior) field of a rotating sphere to the same order. Since in the Florides-Synge method the field is calculated simultaneously inside and outside the sphere, the Kerr exterior metric is automatically extended to an interior metric up to the orderk ⁵.

Riassunto

Si calcola il campo gravitazionale di una sfera olie ruota in modo stazionario attorno ad uno dei suoi diametri, all’interno ed all’esterno della sfera, sino all’ordinek ⁵ per mezzo del metodo di approssimazioni successive di Florides-Synge:k∼(m/b)^1/2, dovem è la massa eb il raggio della sfera. Supponendo che le costantim eda ehe compaiono nella metrica (esterna) di Kerr siano dell’ordinek ² ek, rispettivamente, si dimostra che la metrica di Kerr, sino all’ordinek ⁵, è precisamente il campo (esterno) di una sfera rotante sino allo stesso ordine. Poiché nel metodo di Florides-Synge si calcola il campo simultaneamente all’interno ed all’esterno della sfera, la metrica esterna di Kerr si estende automaticamente ad una metrica interna sino all’ordinek ⁵.

Резюме

Используя метод посл едовательных прибли жений Флоридса-Синга, вычис ляется гравитационн ое поле внутри и вне сф еры, равномерно вращающейся вокруг о дного из своих диамет ров, вплоть до порядкаk ^u5,k ∼(т/b) ^1/2,гдет — масса иb — радиус сферы. Предполагая, чт о постоянныеm иа, поя вляющиеся в (внешней) метрике Керра, имеют с оответственно поряд окk ² иk, показывается, что мет рика Керра, вплоть до п орядкаk ⁵, в точности представляет (внешне е) поле вращающейся сф еры до того же порядка. Так как в методе Флоридса-Синг а поле вычисляется од новременно внутри и в не сферы, то внешняя метрика Керр а автоматически расп ространяется на внут реннюю метрику, вплоть до порядкаk ⁵.