On the theory of identical particles

Summary

The classical configuration space of a system of identical particles is examined. Due to the identification of points which are related by permutations of particle indices, it is essentially different, globally, from the Cartesian product of the one-particle spaces. This fact is explicity taken into account in a quantization of the theory. As a consequence, no symmetry constraints on the wave functions and the observables need to be postulated. The two possibilities, corresponding to symmetric and antisymmetric wave functions, appear in a natural way in the formalism. But this is only the case in which the particles move in three- or higher-dimensional space. In one and two dimensions a continuum of possible intermediate cases connects the boson and fermion cases. The effect of particle spin in the present formalism is discussed.

Riassunto

Si esamina lo spazio delle configurazioni classico di un sistema di particelle identiche. A causa dell'identificazione di punti che sono correlati da permutazioni degli indici delle particelle, questo spazio è in modo globale sostanzialmente diverso dal prodotto cartesiano degli spazi ad una particella. Si prende in considerazione questo fatto esplicitamente in una quantizzazione della teoria. Di conseguenza, non è necessario postulare alcuna costrizione di simmetria per le funzioni d'onda e gli osservabili. Le due possibilità corrispondenti a funzioni d'onda simmetriche e antisimmetriche compaiono nel formalismo in modo naturale. Ma questo avviene solo quando le particelle si muovono in uno spazio a 3 o più dimensioni. In una o due dimensioni, un continuo di possibili casi intermedi collega i casi bosonici e fermionici. Si discute l'effetto dello spin delle particelle nel presente formalismo.

Резюме

Исследуется классическое конфигурационное пространство системы тождественных частиц. Вследствие идентификации точек, которые связаны из-за перестановок индексов частиц, рассматриваемое пространство в целом существенно отличается от декартова произведения одночастичных пространств. Этот факт учитывается в явном виде при квантовании теории. Как следствие этого необходимо постулировать отсутствие ограничений симметрии на волновые функции и наблюдаемые величины. В рассматриваемом формализме естественным образом появляются две возможности, сооветствующие симметричной и антисимметричной волновым функциям. Указанная ситуация возикает только в случае, когда частицы движутся в пространстве трех или большего числа измерений. В случае одного и двух измерений континуум возможных промежуточных состояний включает бозонный и фермионный случаи. Обсуждается эффект спина частиц в предложенном формализме.