On the analytic properties of partial wave scattering amplitudes obtained from the Schrödinger equation

Summary

On étudie les propriétés analytiques de l’amplitude de diffusion pour une onde partielle donnée à partir des propriétés de la solution radiale de l’équation de Schrödinger pour une énergie complexe. Les résultats connus dans le cas des potentiels à portée finie sont rétablis par cette méthode. On examine ensuite, en se limitant à l’ondeS, les propriétés analytiques pour des potentiels décroissant exponentiellement. On retrouve ainsi une bande d’analyticité commune à tous ces potentiels. Deux exemples sont traités complètement: le cas d’un potentiel produit d’une exponentielle par une fonction sinusoïdale, le cas d’une famille assez générale de potentiels comprenant en particulier le potentiel de Yukawa et une somme de potentiels de Yukawa. Le comportement à l’infini de l’amplitude de diffusion est obtenu et il est possible d’écrire une relation de dispersion pour cette quantité. Sous des conditions plus restrictives, on peut écrire une relation de dispersion pour une quantité reliée à la fonction d’onde à une distancer de l’origine. La méthode employée pour évaluer l’amplitude de diffusion semble être, en outre, une méthode pratique d’approximation valable.

Riassunto

Prendendo le mosse dalle proprietà della soluzione radiale dell’equazione di Schrödinger per una energia complessa, si studiano le proprietà analitiche dell’ampiezza di diffusione per una data onda parziale. Si ristabiliscono con questo metodo i risultati conosciuti nel caso dei potenziali a portata finita. Si esaminano quindi, limitandosi all’ondaS, le proprietà analitiche di potenziali esponenzialmente decrescenti. Si ritrova in tal modo una banda di analiticità comune a tutti questi potenziali. Si prendono in esame, in maniera completa, due esempi: il caso di un potenziale prodotto di una funzione esponenziale per una funzione sinusoidale, ed il caso di una famiglia abbastanza generale di potenziali comprendenti, in particolare, il potenziale di Yukawa e una somma di potenziali di Yukawa. Si ottiene il comportamento all’infinito dell’ampiezza di diffusione, ed è possibile scrivere una relazione di dispersione per questa quantità. Sotto condizioni più restrittive si può scrivere una relazione di dispersione per una quantità connessa alla funzione d’onda ad una distanzar dall’origine. Il metodo impiegato per valutare l’ampiezza di diffusione sembra costituire, oltretutto, un metodo pratico di valida approssimazione.