Invariant theoretic derivation of the connection between momentum and velocity

Summary

The significance of the energy-momentum conservation laws, as consequences of the general invariance principles, is much enhanced if the momentum, and hence the energy, can be coupled, still by means of the invariance principles, to some directly observable quantity. If the positions of particles can be measured in the quantum-mechanical sense, and if the corresponding operator satisfies the obvious invariance requirements, the velocity can also be ascertained and its relation to the momentum four-vector can easily be derived from the displacement invariances. Serious doubts have been cast, however, on the measurability of the position. Hence, a more primitive method of measuring the velocity, by means of « traps » is described; it is essentially the experimental method. The connection between momentum and velocity is then derived, for the velocity measured in this way, from the displacement invariance principle.

Riassunto

Si aumenta molto il significato delle leggi di conservazione dell’energia-impulso, come conseguenza dei principi di invarianza generale, se l’impulso, e quindi l’energia, può essere accoppiato, ancora per mezzo dei principi di invarianza, a qualche quantità direttamente osservabile. Se le posizioni delle particelle possono essere misurate, nel senso della meccanica quantistica, e se l’operatore corrispondente soddisfa ad ovvi requisiti d’invarianza, anche la velocità può essere accertata e la sua relazione con il quadrivettore dell’impulso può essere facilmente ottenuta dalle invarianze di spostamento. Sono sorti, comunque, seri dubbi sulla misurabilità della posizione. Quindi si descrive un metodo più primitivo di misurazione della velocità per mezzo dei « trappole »; è essenzialmente il metodo sperimentale. Si ottiene quindi, dal principio d’invarianza dello spostamento, la connessione fra l’impulso e la velocità, quando la velocità è misurata in questo modo.

Реэюме

Значимость эаконов сохранения знергии-импульса, как следствий обших принципов инвариантности, еше более усиливается, если импульс и, следовательно, знергия могут быть свяэаны с помошью принципов инвариантности с некоторыми непосредственно иэмеряемыми велчинами. Если положения частиц могут быть иэмерены в квантовомеханичес ком смысле и если соответствуюший оператор удовлетворяет очевидным требованиям инвариантности, то скорость также может быть определена, и свяэь скорости с четырех-вектором импульса может быть легко получена иэ инвариантности относительно смешений. Однако, наиболее серьеэные сомнеия выэывает воэможность иэмерения положения. Позтому описывается более примитивный метод иэмерения скорости с помошью « ловущек »; который представляет основной метод зкспериментального иэмерения. Затем выводится свяэь между импульсом и скоростью для скорости, иэмеренной укаэанным обраэом, испольэуя принцип инвариантности смешения.