A stable and convergent extrapolation procedure for the scattering amplitude

Summary

The extrapolation of the experimental data on scattering amplitude out of the physical region being a typical mathematical example of an «improperly posed problem», one has first to provide rapidlyconvergent expansions for the amplitude, and then make sure that the results arestable against small perturbations (experimental errors). In a recent paper of Cutkosky and Deo, and in paper I, we found a powerful extrapolation method in the form of an optimal conformal mapping, in terms of which this problem was then solved by means of a limited-term (semi-convergent) expansion, whose coefficients were found by minimizing the maximum of the deviations in the physical region (Tchebycheff case). In the present paper, this analysis is extended to the physically important least squares and discrete-point interpolation cases.

Riassunto

Poichè l’estrapolazione dei dati sperimentali sull’ampiezza di scattering oltre la 2 regione fisica è un tipico esempio matematico di «problema improprio», bisogna prima fornire sviluppi in serie dell'ampiezza rapidamenteconvergenti, e poi assicurarsi che i risultati sianostabili per le piccole perturbazioni (errori sperimentali). In un recente articolo di Cutkosky e Deo e nell’articolo I si è trovato un potente metodo di estrapolazione sotto forma di rappresentazione conforme ottimale, in base al quale si è poi risolt questo problema per mezzo di uno sviluppo a termini limitati (semiconvergente), i cui coefficienti sono stati trovati rendendo minimo il massimo delle deviazioni nella regione fisica (caso di Tchebycheff). In questo articolo si estende questa analisi ai casi, fisicamente importanti, dell’interpolazione con il metodo dei minimi quadrati e con quello dei punti discreti.

Резюме

При экстраполяции экспериментальных данных по амплитуде рассеяния за пределы физической области, что представляет типичный математический пример «некорректно поставленной проблемы», сначала необходимо обеспечить быструю сходимость разложений для амплитуды, а затем можно быть уверенным, что результаты будут устойчивыми относительно малых возмущений (экспериментальных ошибок). В недавней статье Кутковского и Део и в статье I мы получили мощный метод экстраполяции в форме оптимального конформного отображения, на основе которого эта проблема решается посредством (полу-сходящегося) разложения с ограниченным числом членов, коэффициенты которого находились путем минимизации максимума отклонений в физической области (случай Чебышева). В настоящей статье этот анализ расширяется на физически важные наименьшие квадраты и случаи интерполяции дискретных точек.