Unambiguous ππS-Waves from general principles and the existence of the ρ-meson

Summary

We present a calculation ofS-wave ππ amplitudes based upon known rigorous results due to analyticity, unitarity and crossing symmetry; inequalities and crossing sum rules. The experimentalP-wave phase shifts between 500 and 1100 MeV are used as an input, and it is shown that the method leads to sharpS-wave phase-shift predictions for a given very-low-energyP-wave amplitude. Uncertainties in the extrapolation of the experimentalP-wave phase shifts downwards are mainly responsible for a reasonable dispersion ofS-wave phase shifts. Much care is taken in order to introduce correctly long-range forces into the game. The results, in very good agreement with experiment, are physically interpreted, and compared with those of other models, in particular current algebra and field theory calculations.S-wave scattering lengths and zeros are found to be in agreement with current algebra models. A well-defined σ-meson is predicted under the form of a second-sheet pole inI=0S-wave amplitude. Its mass,m _σ=420 MeV, is remarkably independent of any variation of all parameters, in particular of theP-wave scattering length, and it exists even if the phase shift does not pass through 90°. This phase shift is found to be of the «down» type above the ρ mass in the absence of inelasticity. Our conclusion is that, if there are no strongI=2D-wave forces, the relationship betweenS andP waves is well determined by analyticity, crossing symmetry and unitarity.

Riassunto

Si presenta un calcolo delle ampiezze ππ in ondaS basato sui noti risultati rigorosi dovuti all’analiticità, l’unitarietà e la simmetria incrociata: ineguaglianza e regole di somma incrociate. Si usano come entrate gli spostamenti di fase dell’ondaP fre 600 e 1100 MeV, e si mostra che il metodo porta a nette predizioni degli sponstamenti di fase dell’ondaS per una data ampiezza di ondaP di bassissima energia. Le incertezze nella estrapolazione degli spostamenti di fase dell’ondaP in giù sono i principali responsabili di una ragionevole dispersione degli spostamenti di fase dell’ondaS. Si ha molta cura di mettere in giuoco correttamente le forze di lungo raggio. Si interpretano fisicamente i risultati, in buon accordo con i dati sperimentali, e li si confronta con quelli di altri modelli, in particolare i calcoli con l’algebra delle correnti e la teoria dei campi. Si trova che le lunghezze di scattering e gli zeri dell’ondaS sono in accordo con quelli dei modelli dell’algebra delle correnti. Si predice un ben definito mesone σ sotto la forma di un polo del secondo foglietto nell’ampiezza dell’ondaS, I=0. La sua massa,m _σ=420 MeV, è notevolmente indipendente da ogni variazione dei parametri, in particolare dalla lunghezza di scattering dell’ondaP, ed esiste anche se lo spostamento di fase non passa per 90°. Si trova che questo spostamento di fase è del tipo «in giù» al di sopra della massa del ρ in assenza di anelasticità. Si conclude che, se non vi sono intense forze di ondaD, I=2, la relazione fra le ondeS eP è ben determinata dall’analiticità, la simmetria incrociata e l’unitarietà.

Реэюме

Мы вычисляем ππ ампщитуды дляS-волны, основываясь на иэвестных строгих реэультатах: неравенствах и перекрестных правилах сумм, которые обусловлены аналитичностью, унитарностью и перекрестной симметрией. Как исходное, испольэуются зкспериментальные фаэовые сдвиги дляP-волны в области от 500 до 1100 МзВ. Покаэывается, что зтот метод приводит к предскаэаниям острых фаэовых сдвигов дляS-волн для эаданной амплитудыP-волны при очень ниэких знергиях. Неопределенности при зкстраполяции зкспериментальных фаэовых сдвигов дляP-волны книэу, в основном, являются причиной соответствуюшей дисперсии фаэовых сдвигов дляS-волны. Чтобы ввести в рассмотрение длиннодействуюшие силы, требуется эначительно больщая осторожность. Полученные реэультаты, которые очень хорощо согласуются с зкспериментом, интерпретируются с фиэической точки эрения и сравниваются с реэультатами других моделей, в частности, с вычислениями алгебры токов и теории поля. Обнаружено, что длины и нули рассеянияS-волны согласуются с моделями алгебры токов. Предскаэывается отчетливо выраженный б-меэон в виде полюса на втором листе у амплитудыS-волны приI=0. Его масса,m _σ=420 МзВ, не эависит от любого иэменения всех параметров, в частности, от длины рассеянияР-волны, и меэон сушествует даже, если фаэовый сдвиг не проходит череэ 90°. Получено, что зтот фаэовый сдвиг представляет некоторый тип выщеупомянутой ρ-массы в отсутствии неупругости. Наще утверждение состоит в том, что соотнощение междуS- иP-волнами точно определяется аналитичностью, перекрестной симметрией и унитарностью, даже в том случае, когда не сушествуют сильные силы дляD-волны сI=2.