Spinor fields in general relativity

Summary

The concept of spinors which transform according to the unimodular group is analysed on the basis of Riemann-Cartan geometry. Using the principle of minimal coupling, we obtain a matter Lagrangian, which differs from the Lagrangian of the conventional theory of general relativity in that it is also a function of torsion. Conservation laws are derived by considering the invariance of the action function under infinitesimal co-ordinate and spin transformations. These conservation laws or identities lead to the definition of an asymmetric energy-momentum tensor, the antisymmetric part of which is related to the spin angular momentum. It is also shown that the force acting on the material system depends on the spin of the material and on the curvature.

Riassunto

Si analizza sulla base della geometria di Kiemann-Cartan il concetto di spinori che si trasformano secondo il gruppo unimodulare. Facendo uso del principio dell’accoppiamento minimo, si ottiene un lagrangiano della materia che differisce dal lagrangiano della teoria convenzionale della relatività generale in quanto è funzione anche della torsione. Si deducono leggi di conservazione considerando l’invarianza della funzione di azione rispetto a trasformazioni infinitesime di coordinate e di spin. Queste leggi di conservazione o identità portano alla definizione di un tensore asimmetrico dell’energia impulso, la oui parte antisimmetrica è in relazione con il momento angolare dello spin. Si dimostra anche che la forza che agisce sul sistema materiale dipende dallo spin del materiale e dalla curvatura.

Резюме

На основе геометрии Римана-Картана анализируется концепция спиноров, которые преобразуются согласно унимодулярной группы. Используя принцип минимальной связи, мы получаем лагранжиан вещества, который отличается от лагранжиана обычной общей теории относительности тем, что он является также функцией закручивания. Выводятся законы сохранения в результате рассмотрения инвариантности функции действия относительно бесконечно малых координатных и спиновых преобразований. Эти законы сохранения или тождества приводят к определению асимметричного тензора энергии-импульса, антисимметричная часть которого связана со спиново-орбитальным моментом. Также показывается, что сила, действующая на материальную систему, зависит от спина вещества и кривизны.