The harmonic oscillator in stochastic electrodynamics

Summary

Classical electrodynamics with the hypothesis of a universal, Lorentz invariant, background radiation (stochastic electrodynamics) has been proposed as a possible alternative to quantum electrodynamics. The stochastic equations of motion of a charged particle are derived according to this theory, and they are compared with those of Brownian motion. A development of the equations in powers of the fine-structure constant α is considered. The harmonic oscillator is studied with the result that the oscillator performs a simple harmonic motion very stable in phase. The amplitude changes slowly and at random. The mean values of the kinetic and potential energy are calculated and agree quite well with the results of quantum electrodynamics up to first order in α. The existence of excited states is shown which prove to be very similar to the coherent states of the quantum oscillator. The calculated rate of spontaneous emission of radiation agrees with the result of quantum electrodynamics but the line width does not agree. Arguments are given which show that the quantum line width calculated according to the Weisskopf-Wigner theory cannot be correct in the case of the oscillator. A general expression for the evolution of the expectation value of any observable of the oscillator in quantum electrodynamics is also derived.

Riassunto

L’elettrodinamica classica, insieme con l’ipotesi di esistenza di una radiazione universale di fondo, invariante rispetto a trasformazioni di Lorentz (elettrodinamica stocastica), è stata proposta come possibile alternativa all’elettrodinamica quantistica. Si ottengono secondo questa teoria le equazioni stocastiche del moto di una particella carica e si confrontano con quelle del moto browniano. Si considera uno sviluppo delle equazioni in funzione delle potenze della costante di struttura fine α. Si studia l’oscillatore armonico e si trova che esso esegue un moto armonico semplice notevolmente stabile in fase. L’ampiezza varia lentamente ed a caso. Si calcolano i valori medi dell’energia cinetica e dell’energia Potenziale e si trova che essi concordano molto bene con i risultati dell’elettrodinamica quantistica fino al primo ordine in α. Si dimostra l’esistenza di stati eccitati che risultano molto simili agli stati coerenti dell’oscillatore quantistico. Il risultato del calcolo del rapporto di emissione spontanea coincide con quello fornito dall’elettrodinamica quantistica, ma le ampiezze delle linee non coincidono. Si forniscono argomenti che dimostrano che le ampiezze quantistiche delle linee, calcolate secondo la teoria di Weisskopf-Wigner, non possono essere corrette nel caso dell’oscillatore. Si ottiene inoltre, secondo l’elettrodinamica quantistica, un’espressione generale dell’evoluzione del valore atteso di qualsiasi osservabile dell’oscillatore.

Резюме

Как возможная альтер натива квантовой электродинамике, пре длагается классичес кая электродинамика с гипотезой универса льного, Лор электродинамика с ги потезой универсальн ого, Лорентц-инва-риан тного, фонового излуч ения (стохастическая электродинамика). В со ответствии Лорентц-инва-риантно го, фонового излучени я (стохастическая эле ктродинамика). В соотв етствии с этой теорие й выводятся стохасти ческие уравнения дви жения заряженной час тицы. Эти урав (стохастическая элек тродинамика). В соотве тствии с этой теорией выводятся стохастич еские уравнения движ ения заряженной част ицы. Эти уравнения сра вниваются с уравнени ями броуновского дви жения. Рассматривает ся разложение этих ур ав этой теорией выводят ся стохастические ур авнения движения зар яженной частицы. Эти у равнения сравнивают ся с уравнениями броу новского движения. Ра ссматривается разло жение этих уравнений по степеням постоянн ой тонкой структуры а. Исследуется гармони ческий осциллятор с т ем резуль движения заряженной частицы. Эти уравнени я сравниваются с урав нениями броуновског о движения. Рассматри вается разложение эт их уравнений по степе ням постоянной тонко й структуры а. Исследу ется гармонический о сциллятор с тем резул ьтатом, что осциллято р совершает простое г армоническое движен ие, очень устойчивое п о фазе. Амп сравниваются с уравн ениями броуновского движения. Рассматрив ается разложение эти х уравнений по степен ям постоянной тонкой структуры а. Исследуе тся гармонический ос циллятор с тем резуль татом, что осциллятор совершает простое га рмоническое движени е, очень устойчивое по фазе. Амплитуда измен яется медленно и хаот ически. Вычисляются с редние величины кине тической и потенци Рассматривается раз ложение этих уравнен ий по степеням постоя нной тонкой структур ы а. Исследуется гармо нический осциллятор с тем результатом, что осциллятор совершае т простое гармоничес кое движение, очень ус тойчивое по фазе. Ампл итуда изменяется мед ленно и хаотически. Вы числяются средние ве личины кинетической и потенциальной энер гии. Получается довол ьно хорошее согласие с результатами квант овой электродинамик и в степеням постоянной тонкой структуры а. Ис следуется гармониче ский осциллятор с тем результатом, что осци ллятор совершает про стое гармоническое д вижение, очень устойч ивое по фазе. Амплитуд а изменяется медленн о и хаотически. Вычисл яются средние величи ны кинетической и пот енциальной энергии. П олучается довольно х орошее согласие с рез ультатами квантовой электродинамики впл оть до первого порядк а по а. Показывается су ществование возбужд енных состояний, кото рые оказываю гармонический осцил лятор с тем результат ом, что осциллятор сов ершает простое гармо ническое движение, оч ень устойчивое по фаз е. Амплитуда изменяет ся медленно и хаотиче ски. Вычисляются сред ние величины кинетич еской и потенциально й энергии. Получается довольно хорошее сог ласие с результатами квантовой электроди намики вплоть до перв ого порядка по а. Показ ывается существован ие возбужденных сост ояний, которые оказыв аются когерентными с остояниями квантово го осциллятора. Вычис ленная интенсивност ь спонтанного излуче осциллятор совершае т простое гармоничес кое движение, очень ус тойчивое по фазе. Ампл итуда изменяется мед ленно и хаотически. Вы числяются средние ве личины кинетической и потенциальной энер гии. Получается довол ьно хорошее согласие с результатами квант овой электродинамик и вплоть до первого по рядка по а. Показывает ся существование воз бужденных состояний, которые оказываются когерентными состоя ниями квантового осц иллятора. Вычисленна я интенсивность спон танного излучения со гласуется с результа том квантовой электр одинамики, но ширина л инии не согласуется. П риводятдя ар очень устойчивое по ф азе. Амплитуда изменя ется медленно и хаоти чески. Вычисляются ср едние величины кинет ической и потенциаль ной энергии. Получает ся довольно хорошее с огласие с результата ми квантовой электро динамики вплоть до пе рвого порядка по а. Пок азывается существов ание возбужденных со стояний, которые оказ ываются когерентным и состояниями кванто вого осциллятора. Выч исленная интенсивно сть спонтанного излу чения согласуется с р езультатом квантово й электродинамики, но ширина линии не согла суется. Приводятдя ар гументы, которые пока зывают, что квантовая, ширина линии, вычисле нная согласно теории Вайсскопфа-Вигн медленно и хаотическ и. Вычисляются средни е величины кинетичес кой и потенциальной э нергии. Получается до вольно хорошее согла сие с результатами кв антовой электродина мики вплоть до первог о порядка по а. Показыв ается существование возбужденных состоя ний, которые оказываю тся когерентными сос тояниями квантового осциллятора. Вычисле нная интенсивность с понтанного излучени я согласуется с резул ьтатом квантовой эле ктродинамики, но шири на линии не согласует ся. Приводятдя аргуме нты, которые показыва ют, что квантовая, шири на линии, вычисленная согласно теории Вайс скопфа-Вигнера, не мож ет быть правильной в с лучае осциллятора. Та кже выводится общее в ыражение для эволюци и ожид кинетической и потен циальной энергии. Пол учается довольно хор ошее согласие с резул ьтатами квантовой эл ектродинамики вплот ь до первого порядка п о а. Показывается суще ствование возбужден ных состояний, которы е оказываются когере нтными состояниями к вантового осциллято ра. Вычисленная интен сивность спонтанног о излучения согласуе тся с результатом ква нтовой электродинам ики, но ширина линии не согласуется. Приводя тдя аргументы, которы е показывают, что кван товая, ширина линии, вы численная согласно т еории Вайсскопфа-Виг нера, не может быть пра вильной в случае осци ллятора. Также выводи тся общее выражение д ля эволюции ожидаемо й величины для любой н аблюдаемой осциллят ора в квантовой элект родинамике. довольно хорошее сог ласие с результатами квантовой электроди намики вплоть до перв ого порядка по а. Показ ывается существован ие возбужденных сост ояний, которые оказыв аются когерентными с остояниями квантово го осциллятора. Вычис ленная интенсивност ь спонтанного излуче ния согласуется с рез ультатом квантовой э лектродинамики, но ши рина линии не согласу ется. Приводятдя аргу менты, которые показы вают, что квантовая, ши рина линии, вычисленн ая согласно теории Ва йсскопфа-Вигнера, не м ожет быть правильной в случае осциллятора. Также выводится обще е выражение для эволю ции ожидаемой величи ны для любой наблюдае мой осциллятора в ква нтовой электродинам ике. электродинамики впл оть до первого порядк а по а. Показывается су ществование возбужд енных состояний, кото рые оказываются коге рентными состояниям и квантового осцилля тора. Вычисленная инт енсивность спонтанн ого излучения соглас уется с результатом к вантовой электродин амики, но ширина линии не согласуется. Приво дятдя аргументы, кото рые показывают, что кв антовая, ширина линии, вычисленная согласн о теории Вайсскопфа-В игнера, не может быть п равильной в случае ос циллятора. Также выво дится общее выражени е для эволюции ожидае мой величины для любо й наблюдаемой осцилл ятора в квантовой эле ктродинамике. Показывается сущест вование возбужденны х состояний, которые о казываются когерент ными состояниями ква нтового осциллятора. Вычисленная интенси вность спонтанного и злучения согласуетс я с результатом квант овой электродинамик и, но ширина линии не со гласуется. Приводятд я аргументы, которые п оказывают, что кванто вая, ширина линии, вычи сленная согласно тео рии Вайсскопфа-Вигне ра, не может быть прави льной в случае осцилл ятора. Также выводитс я общее выражение для эволюции ожидаемой в еличины для любой наб людаемой осциллятор а в квантовой электро динамике. которые оказываются когерентными состоя ниями квантового осц иллятора. Вычисленна я интенсивность спон танного излучения со гласуется с результа том квантовой электр одинамики, но ширина л инии не согласуется. П риводятдя аргументы, которые показывают, ч то квантовая, ширина л инии, вычисленная сог ласно теории Вайсско пфа-Вигнера, не может б ыть правильной в случ ае осциллятора. Также выводится общее выра жение для эволюции ож идаемой величины для любой наблюдаемой ос циллятора в квантово й электродинамике. квантового осциллят ора. Вычисленная инте нсивность спонтанно го излучения согласу ется с результатом кв антовой электродина мики, но ширина линии н е согласуется. Привод ятдя аргументы, котор ые показывают, что ква нтовая, ширина линии, в ычисленная согласно теории Вайсскопфа-Ви гнера, не может быть пр авильной в случае осц иллятора. Также вывод ится общее выражение для эволюции ожидаем ой величины для любой наблюдаемой осцилля тора в квантовой элек тродинамике. спонтанного излучен ия согласуется с резу льтатом квантовой эл ектродинамики, но шир ина линии не согласуе тся. Приводятдя аргум енты, которые показыв ают, что квантовая, шир ина линии, вычисленна я согласно теории Вай сскопфа-Вигнера, не мо жет быть правильной в случае осциллятора. Т акже выводится общее выражение для эволюц ии ожидаемой величин ы для любой наблюдаем ой осциллятора в кван товой электродинами ке. квантовой электроди намики, но ширина лини и не согласуется. Прив одятдя аргументы, кот орые показывают, что к вантовая, ширина лини и, вычисленная соглас но теории Вайсскопфа-Вигнера, не может быть правильной в случае о сциллятора. Также выв одится общее выражен ие для эволюции ожида емой величины для люб ой наблюдаемой осцил лятора в квантовой эл ектродинамике. согласуется. Приводя тдя аргументы, которы е показывают, что кван товая, ширина линии, вы численная согласно т еории Вайсскопфа-Виг нера, не может быть пра вильной в случае осци ллятора. Также выводи тся общее выражение д ля эволюции ожидаемо й величины для любой н аблюдаемой осциллят ора в квантовой элект родинамике. показывают, что квант овая, ширина линии, выч исленная согласно те ории Вайсскопфа-Вигн ера, не может быть прав ильной в случае осцил лятора. Также выводит ся общее выражение дл я эволюции ожидаемой величины для любой на блюдаемой осциллято ра в квантовой электр одинамике. согласно теории Вайс скопфа-Вигнера, не мож ет быть правильной в с лучае осциллятора. Та кже выводится общее в ыражение для эволюци и ожидаемой величины для любой наблюдаемо й осциллятора в квант овой электродинамик е. правильной в случае о сциллятора. Также выв одится общее выражен ие для эволюции ожида емой величины для люб ой наблюдаемой осцил лятора в квантовой эл ектродинамике. общее выражение для э волюции ожидаемой ве личины для любой набл юдаемой осциллятора в квантовой электрод инамике. любой наблюдаемой ос циллятора в квантово й электродинамике. электродинамике.