Padé approximants in strong interactions. Two-body pion and kaon systems

Summary

We construct the Padé approximants to theS-matrix starting from a formal perturbation series. Starting with a first-order «germ» we calculate the higher-order terms by repeatedly applying unitarity and crossing in the Mandelstam representation. The germ is chosen to be compatible with crossing and analyticity requirements, and to lead to a nonincreasing number of subtraction constants. We consider meson-meson scattering in which case the germs are simply constants. We have studied systems involving pions and kaons. In that case, there are only three parameters. Resonances and Regge trajectories have been computed. The seven lowest-lying two-body resonances (ρ, K^*(890), ϕ, K^*(1420), f₀, f ^′₀ , A₂) are obtained within a few percent of their actual masses. Also, the intercepts of the ρ and f₀ trajectories agree very well with present estimates. Some degeneracies between channels with different quantum numbers appear and are discussed. The comparison with a pure π-π calculation shows promising improvement. We explain the further extensions of the model to compute meson states, and also baryon-meson and baryon-baryon amplitudes. In the course of this work, we have studied many mathematical and practical aspects of Padé approximants and their application to various fields.

Riassunto

Si costruiscono gli approssimanti di Padé alla matriceS partendo da una serie di perturbazione formale. Partendo da un “germe» del primo ordine si calcolano i termini d’ordine piú elevato applicando ripetutamente l’unitarietà e l’incrocio nella rappresentazione di Mandelstam. Si sceglie il germe in modo che sia compatibile con le esigenze dell’incrocio e dell’analiticità, e porti ad un numero non crescente di costanti di sottrazione. Si considera lo scattering mesone-mesone in cui i germi sono semplicemente costanti. Si sono studiati dei sistemi che interessano i pioni ed i kaoni. In questo caso si hanno solo tre parametri. Si sono calcolate le risonanze e le traiettorie di Regge. Si sono ottenute le sette risonanze di due corpi più basse (ρ, K^*(890), ϕ, K^*(1420), f₀, f ^′₀ , A₂) con uno scarto di qualche percento dalle loro masse effettive. Inoltre i segmenti delle traiettorie ρ e f₀ sono in buon accordo con i dati attuali. Si sono discusse alcune degenerazioni che appaiono fra canali con numeri quantici diversi. Dal confronto con un puro calcolo di ππ si notano promettenti miglioramenti. Si spiega l’ulteriore estensione del modello per calcolare gli stati del mesone ed anche le ampiezze barione-mesone e barione-barione. Nel corso di questo lavoro si sono studiati molti aspetti matematici e pratici degli approssimanti di Padé, e la loro applicazione in campi diversi.

Резюме

Мы конструируем Падэ аппроксимации дляS-матрицы, исходя из формального ряда теории возмущений. Начиная с «зародыша» первого порядка, мы вычисляем члены более высокого порядка, благодаря повторному применению унитарности и кроссинта в представлении Мандельстама. «Зародыш» выбирается, удовлетворяющим требованиям кроссинга и аналитичности, и что приводит к неувеличивающемуся числу вычитательных констант. Мы рассматриваем мезон-мезонное рассеяние в том случае, когда «зародыши» представляют просто константы. Мы изучили системы, включающие пионы и каоны. В этом случае существует только три параметра. Были вычислены резонансы и траектории Редже. Получаются семь низколежащих двух-частичных резонансов (ρ, K^*(890), ϕ, K^*(1420), f₀, f ^′₀ , A₂) в пределах нескольких процентов от их фактических масс. Пересечения ρ и f₀ траекторий также очень хорошо согласуются с имеющимися оценками. Наблюдаются вырождения между каналами с различными квантовыми числами, и обсуждаются эти вырождения. Сравнение с чистым π-π вычислением показывает обнадеживающие улучшения. Мы объясняем дальнейшие расширения модели для вычисления мезонных состояний, а также барион-мезонных и барион-барионных амплитуд. В процессе этой работы мы изучили многие математические и практические аспекты Падэ аппроксимации и их променений к различным полям.