Bounds on coupling constants in existence theorems for the Low equation

Summary

An earlier existence proof for solutions of the one-meson Low equation is extended and improved. It is shown that the Low equation has an iterative solution, which is analytic in the coupling constant. The Low equation is investigated also in a crossing-symmetric inverse amplitude formulation. The inverse equation has an iterative solution, which leads to a ghost-free solution of the Low equation. The proofs are valid if certain upper bounds on the coupling constant are respected. We give numerical values of those bounds (for πN scattering and a particular cut-off function) in each of three formulations of the Low equation: the Low equation itself, the inverse amplitude equation, and theN/D equation. The bounds prove to be disappointingly small, whether the existence proofs are done by Schauder's fixed-point theorem or by the iterative method of Banach's fixed-point theorem. It appears that entirely different methods will be needed to investigate solutions with the coupling constant near its physical value.

Riassunto

Si è estesa e migliorata una precedente prova di esistenza per le soluzioni dell'equazione di Low per un mesone. Si dimostra che l'equazione di Low ha una soluzione iterativa, analitica nella costante di accoppiamento. Si studia l'equazione di Low anche nella formulazione con l'ampiezza inversa a simmetria incrociata. L'equazione inversa ha una soluzione iterativa, che porta ad una soluzione libera da fantasmi dell'equazione di Low. Le dimostrazioni sono valide se si rispettano alcuni vincoli superiori della costante di accoppiamento. Si forniscono i valori numerici di questi limiti (per lo scattering πN e per una particolare funzione di cut-off) in ciascuna delle tre formulazioni dell'equazione di Low: la stessa equazione di Low, l'equazione dell'ampiezza inversa e l'equazioneN/D. Si dimostra che i limiti sono spiacevolmente piccoli, se le dimostrazioni di esistenza sono affidate al teorema del punto fisso di Schauder oppure al metodo iterativo del teorema del punto fisso di Banach. Si vede che sono necessari dei metodi completamente diversi per studiare le soluzioni con la costante di accoppiamento vicina al suo valore fisico.

Резюме

Расширяется и улучшается предыдущее доказательство существования для решений одно-мезонного уравнения Лоу. Показывается, что уравнение Лоу имеет итерационное решение, которое является аналитическим по константе связи. Также исследуется уравнение Лоу в формулировке кроссинг-симметричной обратной амплитуды. Обратное уравнение имеет итерационное решение, которое приводит к решению, не содержащему духов, для уравнения Лоу. Доказательство оказывается справедливым, если вьшолняются Некоторые верхние границы на константу связи. Мы приводим численные значения этих границ (для πN рассеяния и конкретной функции обрезания) в каждом из трех формулировок уравнения Лоу: собственно уравнения Лоу, уравнения для обратной амплитуды иN/D уравнения. Доказывается, что границы являются неожиданно малыми, независимо от того проводятся доказательства суЩествования посредством теоремы фиксированной точки Шаудера или посредством итерционного метода теоремы фиксированной точки Ъанаха. Оказывается, необходимы полностью различные методы для исследования решений с константой связи, вблизи ее физического значения.