A remark on bound states in potential-scattering theory

Summary

Let ℋ = ℋ _B + ℋ _C be the Hilbert space of ann-particle quantum system, where ℋ _B is spanned by the bound states and ℋ _C corresponds to the continuous spectrum of the Hamiltonian. It is shown that the wave functions which are in some sense localized in space and energy form a compact set in ℋ. This is used to prove that a wave packet ψ remains localized at finite distance for all time if ψ∈ℋ _B , and that it disappears at infinity if ψ∈ℋ _C .

Riassunto

Sia ℋ = ℋ _B + ℋ _C lo spazio hilbertiano di un sistema quantistico din particelle, in cui ℋ _B è coperto dagli stati legati e ℋ _C corrisponde allo spettro continuo dell'hamiltoniana. Si dimostra che le funzioni d'onda che sono in un certo senso localizzate nello spazio e nell'energia formano un insieme compatto in ℋ. Da ciò si dimostra che un pacchetto d'onde ψ rimane localizzato ad una distanza finita in tutti gli istanti se ψ∈ℋ _B , e che scompare all'infinito se ψ∈ℋ _C .