Transition from a continuous to a discrete space-time scheme

Summary

This paper is concerned with a discrete space and time description of physical events. This involves transforming partial differentials with respect to space and time into finite differences evaluated between neighbouring space-time points. By considering a set of such finite-difference forms of the Euler equations for classical fields, a rule for such a transformation is obtained. It is found that each partial differential must be replaced by the corresponding central difference. Energy and momentum eigenvalues are found for particles moving in one dimension along which the separation between adjacent space points is ξ. It is found that these quantities have maximum values proportional to ξ⁻² and ξ⁻¹ respectively, and that there are finite numbers of distinct eigenvalues of each sort. The Schrödinger equation is transformed into a difference equation and is solved formally to give theS-matrix. It is found that the wave function does not tend to a limit at infinite times.

Riassunto

In questo articolo si tratta della descrizione discreta degli eventi fisici nello spazio e nel tempo. Ciò comporta la trasformazione in differenze finite, calcolate fra punti adiacenti dello spazio-tempo, di differenziali parziali rispetto allo spazio ed al tempo. Considerando un insieme di tali forme di differenze finite delle equazioni di Eulero per i campi classici, si ottiene una regola per questa trasformazione. Si trova che ogni differenza parziale deve essere sostituita dalla corrispondente differenza centrale. Si trovano gli autovalori dell'energia e dell'impulso per particelle che si muovono in una dimensione lungo cui la separazione fra punti adiacenti dello spazio è ξ. Si trova che queste quantità hanno valori massimi proporzionali, rispettivamente, a ξ⁻² e ξ⁻¹, e che vi sono numeri finiti di autovalori distinti di ogni tipo. Si trasforma l'equazione di Schrödinger in una equazione alle differenze finite e si risolve formalmente ottenendo la matriceS. Si trova che la funzione d'onda non tende ad un limite a tempi infiniti.

Резюме

В этой статье рассматривается дискретное пространственное и временное описание физических событий. Оно включает преобразование частных дифференциалов относительно пространственных координат и времени в конечные разности, вычисленные между соседними пространственно-временными точками. Рассматривая систему таких конечно разностных форм уравнений Эйлера для классических полей, получается правило для такого преобразования. Найдено, что каждый частный дифференциал должен быть заменен соответствующей центральной разностью. Определяются собственные значения энергии и импульса для частиц, движущихся в одном измерении, вдоль которого соседние пространственные точки разделяются по ξ. Получается, что эти величины имеют максимальные значения, пропорциональные соответственно ξ⁻² и ξ⁻¹, и что существует конечное число несовпадающих собственных значений каждого сорта. Уравнение Шредингера преобразуется в разностное уравнение, которое формально решается, даваяS-матрицу. Обнаружено, что волновая функция не стремится к пределу при бесконечных временах.