Indefinite metric in massless quantum field theories of arbitrary spin

Summary

The Gupta-Bleuler quantization procedure of electrodynamics is generalized to massless quantum field theories of higher spin without interaction, in particular to include the linearized form of a quantized gravitational theory. It is shown that a manifest Lorentz-invariant local formulation of a theory for spin-j massless particles requires in general the introduction of 2(j ²+1) field components which transform under a reducible representation of the homogeneous Lorentz group and are linear operators in a state space with an indefinite metric. Using the spinor representation rather than the usual tensor representation the operators in momentum space can be easily subdivided into the two physical operators connected with the annihilation and creation of the two physical mass-zero modes and 2j ² ghost operators which can be arranged intoj ² pairs. Each operator pair is connected with annihilation and creation of two nonorthogonal norm-zero states, a «good» and a «bad» ghost. A physical interpretation of the theory is achieved by projection on a physical state space with positive semi-definite metric which consists in the invariant elimination of allj ² bad ghosts byj ² Gupta-type conditions. The physical unobservable admixture of thej ² good ghosts reflects the gauge degrees of freedom of equal dimension.

Riassunto

Si generalizza la procedura di quantizzazione di Gupta-Bleuler dell'elettrodinamica alle teorie quantiche dei campi senza masse di spin maggiore senza interazione, in particolare per comprendere la forma linearizzata della teoria gravitazionale quantizzata. Si dimostra che una formulazione locale manifestamente invariante secondo Lorentz di una teoria per particelle prive di massa di spinj richiede in generale l'introduzione di 2(j ²+1) componenti di campo che si tasformano rispetto ad una rapparesentazione riducibile del gruppo omogeneo di Lorentz e sono operatori lineari in uno spazio degli stati con una metrica indefinita. Usando la rappresentazione spinoriale anziché la solita rappresentazioen tensoriale, si possono facilmente suddividere gli operatori dello spazio degli impulsi nei due operatori fisici connessi con la annichilazione e la creazione di due modi fisici di massa nulla e nei 2j ² operatori fantasma che possono essere sistemati inj ² coppie. Ogni coppia di operatori è connessa con l'annichilazione e la creazione di due stati non ortogonali di norma nulla, un fantasma «buono» ed uno «cattivo». Si ottiene un'interpretazione fisica della teoria con la proiezione su di uno spazio fisico degli stati con metrica semidefinita positiva consistente nell'eliminazione invariante di tutti glij ² fantasmi cattivi tramitej ² condizioni del tipo di Gupta. La mesolanza fisica non osservabile dij ² fantasmi cattivi riflette i gradi di libertà del gauge di dimensione uguale.

Резюме

Процедура квантования Гупта-Блейлера в электродинамике обобщаается для безмассовых квантовых теорий полей для высших спинов без взаимодействия, в частности, чтобы вклучить линеаризованную форму квантованной гравитационной теории. Показывается, что явная Лорентц-инвариантная локальная формулировка теории для безмассовых частиц со спиномj требует, вообше говоря, введения 2(j ²+1) компонент поля, которые преобразуются, согласно приводимому представлению однородной группы Лорентца и являются линейными операторами в пространстве состояний с индефинитной метрикой. Используя спинорное представление, а не обычное тензорное представление, операторы в имрульсном пространстве могут быть легко подразделены на два физических оператора, связанных с уничтожением и рождением физических мод с нулевой массои, и 2j ² операторов духов, которые могут быть классифицированы вj ² пары. Каждая пара операторов связана с уничтожением и рождением двух ортогональных состояний с нулевой нормой, «хорошего» и «плохого» духов. Физическая интерпретация теории достигается путем проектирования на физическое пространство состояний с положительной квазиопределенной метрикой, которое заключается в инвариантном исключении всехj ² плохих духов с помощьюj ² условий, типа Гупта. Физически ненаблюдаемая примесьj ² хороших духов отражает калибровочные степени свободы равной размерности.