On the algebraic structure of a class of solvable quantum problems

Summary

A new algebraic approach to the treatment of quantum problems is introduced, which allows us to understand completely the algebraic structure of all those systems whose eigenvalue equations can be reduced, by means of proper functional transformations, to the hypergeometric equation. The results obtained constitute therefore the natural extension of the program we started in previous papers. In particular, it is proved that the eigenfunctions of the simple but physically interesting differential equation (3.8) are associated to the states of the irreducible representations

(l=0,1,2,…) of the Lie algebraA ₁≈B ₁≈C ₁, characterized by the fact that the eigenvalue of the generatorJ ₃ of the algebra takes the constant value 1/2[1+2g]^1/2 for the considered states. When consideration is given to theS-wave Schrödinger equation for two particles interacting through the Hulthén potential, it is proved that the energy levels are associated with a properly selected submanifold of the space carrying the irreducible representations

or

of the same algebra. Finally, a general procedure is introduced which allows an analogous treatment of all problems whose eigenvalue equations can be reduced to the hypergeometric equation. An interesting three-body problem is also exhaustively investigated from the algebraic point of view.

Riassunto

Si introduce un nuovo metodo algebrico per la trattazione di problemi, quantistici che permette una descrizione completa della struttura algebrica di tutti i sistemi le cui equazioni agli autovalori possono ricondursi, con opportune trasformazioni funzionali, all'equazione ipergeometrica. I risultati ottenuti costituiscono pertanto la naturale estensione del programma iniziato in un gruppo di lavori precedenti. In particolare, si dimostra che le autofunzioni dell'equazione differenziale (3.8) sono da associarsi agli stati che portano le rappresentazioni irriducibili

(l=0, 1, 2, …) dell'algebra di LieA ₁≈B ₁≈C ₁, e sono caratterizzati dal fatto di appartenere all'autovalore 1/2[1+2g]^1/2 del generatoreJ ₃ dell'algebra. Successivamente si considera l'equazione di Schrödinger in ondaS per un sistema di due particelle in interazione, supponendo che il potenziale sia del tipo di Hulthén. Si dimostra che i livelli energetici si possono mettere in corrispondenza con una opportuna sottovarietà dello spazio che porta le rappresentazioni irriducibili

o

della medesima algebra. Infine si introduce un procedimento molto generale che permette la corrispondente analisi di tutti i problemi quantistici le cui equazioni agli autovalori possono ricondursi all'equazione ipergeometrica. Per concludere si studia la struttura algebrica di un interessante problema a tre corpi.

Резюме

Предлагается новый алгебраический подход к рассмотрению квантовых проблем, который позволяет полностью понять алгебраическую структуру всех систем, для которых уравнения собственных значений могут быть сведены с помощью соответствующих функциональных преобразований к гипергеометрическому уравнению. Таким образом, полученные результаты представляют естественное расширение программы, сформулированной нами в предыдущей работе. В частности, доказывается, что собственные функции простого, но физически интересного дифференциального уравнения (3.8) связаны с состояниями неприводимых представлений

(l=0, 1, 2, …) алгебры ЛиA ₁≈B ₁≈C ₁, которая характеризуется тем, что собственное значение генератораJ ₃ этой алгебры принимает постоянное значение 1/2[1+2g]^1/2 для рассмотренных состояний. Когда рассматриваетсяS-волновое уравнение Шредингера для двух частип, взаимодействующих через потещиал Хюльтена, доказывается, что энергетические уровни связаны с надлежащим образом отобранным подмногообразием пространства, содержащего неприводимые представления

или

той же алгебры. В заключение, вводится общая процедура, которая допускает аналогичное рассмотрение всех проблем, для которых уравнения собственных значений могут быть свелены к гипергеометрическому уравнению. С алгебраической точки зрения исчерпывающе исследуется интересная трех-частичная проблема.