Nombre maximal d'hyperplans instables pour un fibré de Steiner

Abstract.

Soit ${\cal S}_{n,k}$ la famille des fibrés de Steiner S sur ${\bf P}_n$ définis par une suite exacte ($k>0$)

\[ 0\rightarrow kO_{{\bf P}_n}(-1) \longrightarrow (n+k)O_{{\bf P}_n}\longrightarrow S \rightarrow 0 \]

Nous montrons le résultat suivant : Soient $S\in{\cal S}_{n,k}$ et $H_1,\cdots,H_{n+k+2}$ des hyperplans distincts tels que $h^0(S^{\vee}_{H_i}) \neq 0$ . Alors il existe une courbe rationnelle normale $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ telle que $H_{i}\in C_n$ pour $i=1, ..., n+k+2$ et $S\simeq E_{n+k-1}(C_n)$ , où $E_{n+k-1}(C_n)$ est le fibré de Schwarzenberger sur ${\bf P}_n$ appartenant à ${\cal S}_{n,k}$ associéà la courbe $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ . On en déduit qu'un fibré de Steiner $S\in{\cal S}_{n,k}$, s'il n'est pas un fibré de Schwarzenberger, possède au plus (n+k+1) hyperplans instables; ceci prouve dans tous les cas un résultat de Dolgachev et Kapranov ([DK], thm. 7.2) concernant les fibrés logarithmiques.

Abstract.

Let ${\cal S}_{n,k}$denote the family of Steiner's bundle$S$on${\bf P}_n$ defined by the exact sequence ($k>0$)

\[ 0\rightarrow kO_{{\bf P}_n}(-1) \longrightarrow (n+k)O_{{\bf P}_n}\longrightarrow S \rightarrow 0 \]

We show the following result : Let $S\in{\cal S}_{n,k}$ and $H_1,\cdots,H_{n+k+2}$ distincts hyperplanes such that $h^0(S^{\vee}_{H_i}) \neq 0$ . Then it exists a rational normal curve $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ such that $H_{i}\in C_n$ for $i=1, ..., n+k+2$ and $S\simeq E_{n+k-1}(C_n)$ , where $E_{n+k-1}(C_n)$ is the Schwarzenberger's bundle on ${\bf P}_n$ which belongs to ${\cal S}_{n,k}$ associated to $C_n\subset{\bf P}_{n}^{\vee}$ It implies that a Steiner's bundle $S\in{\cal S}_{n,k}$, if it isn't a Schwarzenberger's bundle, possesses no more than $(n+k+1)$ unstable hyperplanes; this proves in any case a result of Dolgachev and Kapranov (\cite{DK}, thm 7.2) about logarithmic bundles.