1. 引言

从古至今，幻方作为一种特殊的矩阵深受广大研究者的喜爱，引发了许多人的研究。经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，关于幻方的研究成果已经相当丰富。文献 [1] [2] [3] 是关于和幻方的部分研究成果。但在深入研究的过程中，发现在和幻方构造方法中仍存在着一些问题：在已有和幻方的构造方法中，利用特殊矩阵构造和幻方的方法并不多，大部分都是具体阶数和幻方的构造方法。由此可以了解到给出一般阶数和幻方的构造方法较为困难。为了解决这类问题，可以结合分块矩阵分别找出奇数阶、单偶数阶、双偶数阶和幻方构造的方法。文中将给出单偶数阶和幻方的一种构造方法，即利用分块矩阵构造单偶数阶和幻方。

2. 预备知识

定义1 [4] [5] 设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in Z^{n\times n},n\in N^{*}$，若矩阵A满足以下条件：

① $\forall i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 $E_{\text{1}j}\left(\text{1,}n\right)\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S_r}$ ；

② $\forall j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right)E_{i1}\left(n,1\right)=S_c$ ；

③ $S_r=S_c={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ii}\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}}\left(n,1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}A\circ E_{i,n+1-i}}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S}}$ ；

则称矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 为n阶和幻方，并称S为n阶和幻方A的幻和。

定义2 [4] [5] 设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in Z^{n\times n},n\in N^{*}$，若矩阵A满足以下条件：

① $\forall i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 $E_{\text{1}j}\left(\text{1,}n\right)\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S_r}$ ；

② $\forall j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right)E_{i1}\left(n,1\right)=S_c$ ；

③ $S_r=S_c={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ii}\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}}\left(n,1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}A\circ E_{i,n+1-i}}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S}}$ ；

④ 当 $i\ne k$ 或 $j\ne l$ 时， $\forall i,j,k,l\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 均有 $a_{ij}\ne a_{kl}$。

则称矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 为n阶异元和幻方，并称S为n阶异元和幻方A的幻和。

定义3 [6] [7] 设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$， $a_{ij}\in \left\{1,2,\cdots ,n^2\right\}\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right),n\in N^{*}$，若矩阵A满足以下条件：

① $\forall i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 $E_{\text{1}j}\left(\text{1,}n\right)\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S_r}$ ；

② $\forall j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right)E_{i1}\left(n,1\right)=S_c$ ；

③ $S_r=S_c={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ii}\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}}\left(n,1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}A\circ E_{i,n+1-i}}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S}}$ ；

④ 当 $i\ne k$ 或 $j\ne l$ 时， $\forall i,j,k,l\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 均有 $a_{ij}\ne a_{kl}$。

则称矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 为n阶始元和幻方，并称S为n阶始元和幻方A的幻和。

定义4 [6] [7] 设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$， $a_{ij}\in \left\{a+1,a+2，\cdots ,a+n^2\right\}\left(i,j=1,2,\cdots ,n^2\right),n\in N^{*}$，若矩阵A满足以下条件：

① $\forall i\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 $E_{\text{1}j}\left(\text{1,}n\right)\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S_r}$ ；

② $\forall j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 有 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ij}\left(n,n\right)\right)}\right)E_{i1}\left(n,1\right)=S_c$ ；

③ $S_r=S_c={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}\left(1,n\right)}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(A\circ E_{ii}\right)}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}}\left(n,1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{1j}(1,n)\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}A\circ E_{i,n+1-i}}\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{i1}\left(n,1\right)=S}}$ ；

④ 当 $i\ne k$ 或 $j\ne l$ 时， $\forall i,j,k,l\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 均有 $a_{ij}\ne a_{kl}$。

则称矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 为n阶连元和幻方，并称S为n阶连元和幻方A的幻和。

定义5 [8] 把一个 $m\times n$ 矩阵A，在行的方向分成 $s_p$ 块，在列的方向分成 $t_q$ 块，称为A的 $s_p\times t_q$ 分块矩

阵，记作 $A={\left[A_{s_i\times t_j}\right]}_{s_p\times t_q}$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}{s}_i=m}$， ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{q}{\sum }}{t}_j=n}$ 其中 $A_{s_i\times t_j}\left(i=1,2,\cdots ,p;j=1,2,\cdots ,q\right)$，称为A的子块，它

们是各种类型的小矩阵。

定义6 [9] 设A，B都是 $m\times n$ 矩阵，并且对A，B用同样的方法进行分块： $A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{s_1\times t_1}& A_{s_1\times t_2}& \cdots & A_{s_1\times t_q}\\ A_{s_2\times t_1}& A_{s_2\times t_2}& \cdots & A_{s_2\times t_q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s_p\times t_1}& A_{s_p\times t_2}& \cdots & A_{s_p\times t_q}\end{array}\right]$， $B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{s_1\times t_1}& B_{s_1\times t_2}& \cdots & B_{s_1\times t_q}\\ B_{s_2\times t_1}& B_{s_2\times t_2}& \cdots & B_{s_2\times t_q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s_p\times t_1}& B_{s_p\times t_2}& \cdots & B_{s_p\times t_q}\end{array}\right]$

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}{s}_i=m}$， ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{q}{\sum }}{t}_j=n}$，其中 $A_{s_i\times t_j}$， $B_{s_i\times t_j}$ $\left(i=1,2,\cdots ,p;j=1,2,\cdots ,q\right)$都是 $s_i\times t_j$ 矩阵，即 $A_{s_i\times t_j}$ 和 $B_{s_i\times t_j}$ 是同型矩阵，那么

$A+B=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{s_1\times t_1}+B_{s_1\times t_1}& A_{s_1\times t_2}+B_{s_1\times t_2}& \cdots & A_{s_1\times t_q}+B_{s_1\times t_q}\\ A_{s_2\times t_1}+B_{s_2\times t_1}& A_{s_2\times t_2}+B_{s_2\times t_2}& \cdots & A_{s_2\times t_q}+B_{s_2\times t_q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s_p\times t_1}+B_{s_p\times t_1}& A_{s_p\times t_2}+B_{s_p\times t_2}& \cdots & A_{s_p\times t_q}+B_{s_p\times t_q}\end{array}\right]$。

定义7 [10] 设A是 $m\times n$ 矩阵，把A进行分块：

$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{s_1\times t_1}& A_{s_1\times t_2}& \cdots & A_{s_1\times t_q}\\ A_{s_2\times t_1}& A_{s_2\times t_2}& \cdots & A_{s_2\times t_q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s_p\times t_1}& A_{s_p\times t_2}& \cdots & A_{s_p\times t_q}\end{array}\right]$

其中 $A_{s_i\times t_j}\left(i=1,2,\cdots ,p;t=1,2,\cdots ,q;{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}{s}_i=m};{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{q}{\sum }}{t}_j=n}\right)$，a为任意数，则

$aA=\left[\begin{array}{cccc}a{A}_{s_1\times t_1}& a{A}_{s_1\times t_2}& \cdots & a{A}_{s_1\times t_q}\\ a{A}_{s_2\times t_1}& a{A}_{s_2\times t_2}& \cdots & a{A}_{s_2\times t_q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a{A}_{s_p\times t_1}& a{A}_{s_p\times t_2}& \cdots & a{A}_{s_p\times t_q}\end{array}\right]$

3. 主要结果

定义6 设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in {\left(N^{*}\right)}^{n\times n}$，若 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ii}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{i,n+1-i}}=S$，则称矩阵A是具有和幻性的n阶和幻阵，S是n阶和幻阵A的幻和。

性质1 若矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in {\left(N^{*}\right)}^{n\times n}$，则 $\forall a\in N^{*}$，存在aA也是具有和幻性的n阶和幻阵。

性质2 若矩阵A、B为具有和幻性的n阶和矩阵，则 $\forall a,b\in N^{*}$，存在 $aA+bB$ 也是具有和幻性的n阶和幻阵。

定理1 设矩阵T是一个2n+1阶始元和幻方，

矩阵 $A_{2\left(2n+1\right)\times 2\left(2n+1\right)}=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{B}_{\left(2n+1\right)\times 2}\\ F_{\left(2n+1\right)\times 2}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{C}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\\ G_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{D}_{\left(2n+1\right)\times n}\\ H_{\left(2n+1\right)\times n}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}{J}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\\ M_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\end{array}& \begin{array}{c}{K}_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}\\ N_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right)$，

其中

$B=3\times {\left(b_{ij}\right)}_{\left(2n+1\right)\times 2}\times E_{2\times 2}$， $\left(b_{ij}=\{\begin{array}{c}1,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=0\\ 0,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=1\end{array}\right)$ ；

$C=3\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}$ ；

$D=0\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times n}$ ；

$F=3\times {\left(f_{ij}\right)}_{\left(2n+1\right)\times 2}\times E_{2\times 2}$， $\left(f_{ij}=\{\begin{array}{c}1,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=1\\ 0,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=0\end{array}\right)$ ；

$G=0\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}$ ；

$H=3\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times n}$ ；

$J={\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}$ ；

$K=2\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}$ ；

$M=2\times {\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}$ ；

$N={\left[1\right]}_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}$

则矩阵 $P={\left(2n+1\right)}^2\times A+\left(\begin{array}{cc}T& T\\ T& T\end{array}\right)$ 为4n + 2阶单偶数阶和幻方。

证明：要证明P为和幻方，则需证明矩阵P的每行每列的和均相等，由于单偶数阶和幻方是利用奇数阶和幻方并通过分块矩阵构造而来。奇数阶和幻方每行、每列、主对角线及副对角线的幻和是相同的，所以只要证明矩阵A的每行、每列、主对角线及副对角线的和均为 $3\left(2n+1\right)$ 即可。

1) 由于矩阵A的构造形式，在计算它的行和时可以将矩阵A分块为两部分来进行计算，即前 $2n+1$ 行与后 $2n+1$ 行，并分别计算这两部分每一行的行和。

前 $2n+1$ 行：矩阵B的每行的和为3，矩阵C的每行的和为 $\text{3}\left(n-\text{1}\right)$，矩阵D的每行的和为0，矩阵E的每行的和为 $\left(n-1\right)$，矩阵F的每行的和为 $\text{2}\left(n+\text{2}\right)$，所以 $S_r\left(i\right)=3+3\times \left(n-1\right)+0+\left(n-1\right)+2\left(n+2\right)=6n+3$， $\left(i=1,2,\cdots ,2n+1\right)$。

后 $2n+1$ 行：矩阵F的每行的和为3，矩阵G的每行的和为0，矩阵H的每行的和为3n，矩阵M的每行的和为 $2\left(n-\text{1}\right)$，矩阵N的每行的和为(n+2)，所以 $S_r\left(i\right)=3+0\times \left(n-1\right)+3n+2\left(n-1\right)+\left(n+2\right)=6n+3$， $\left(i=2n+2,2n+3,\cdots ,4n+2\right)$。

因此在矩阵A中， $S_r\left(i\right)=6n+3$， $\left(i=1,2,\cdots ,4n+2\right)$。

2) 由于矩阵A的构造形式，在计算它的列和时，可以将矩阵A分为五部分来进行计算，在每一部分中两个分块矩阵是同型的，则可分别计算每一部分的每一列的列和，即：

① 第1列及第2列： $B+F=3\times {\left(c_{ij}\right)}_{\left(4n+2\right),2}\times E_2{}_{\times 2},\left(c_{ij}=\{\begin{array}{c}1,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=0\\ 0,\left(i+j\right)\left(\mathrm{mod}2\right)=1\end{array}\right)$，所以 $S_c\left(j\right)=3\left(2n+1\right)+0\times \left(2n+1\right)=6n+3$， $\left(j=1,2\right)$ ；

② 第3列至第 $\left(n-1\right)$ 列： $C+G=\left[\begin{array}{c}{3}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\\ 0_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\end{array}\right]$，所以 $S_c\left(j\right)=3\left(2n+1\right)+0\times \left(2n+1\right)=6n+3$， $\left(j=3,4,\cdots ,n-1\right)$ ；

③ 第n列至第2n列： $D+H=\left[\begin{array}{c}{0}_{\left(2n+1\right)\times n}\\ 3_{\left(2n+1\right)\times n}\end{array}\right]$，所以 $S_c\left(j\right)=0\times \left(2n+1\right)+3\left(2n+1\right)=6n+3$， $\left(j=n,n+1,\cdots ,2n\right)$ ；

④ 第 $\left(2n+1\right)$ 列至第3n列： $J+M=\left[\begin{array}{c}{1}_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\\ 2_{\left(2n+1\right)\times \left(n-1\right)}\end{array}\right]$，所以 $S_c\left(j\right)=\left(2n+1\right)+2\left(2n+1\right)=6n+3$， $\left(j=2n+1,2n+2,\cdots ,3n\right)$ ；

⑤ 第 $\left(3n+1\right)$ 列到第 $\left(4n+2\right)$ 列： $K+N=\left[\begin{array}{c}{2}_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}\\ 1_{\left(2n+1\right)\times \left(n+2\right)}\end{array}\right]$，所以 $S_c\left(j\right)=\left(2n+1\right)+2\left(2n+1\right)=6n+3$， $\left(j=3n+1,3n+2,\cdots ,4n+2\right)$。

因此矩阵A中， $S_c\left(j\right)=6n+3$， $\left(j=1,2,\cdots ,4n+2\right)$。

3) $S_{md}=3\left(n+1\right)+0\times n+2\left(n-1\right)+\left(n+2\right)=6n+3$。

4) $S_{cd}=0\times \left(n+1\right)+3n+\left(n-1\right)+2\left(n+2\right)=6n+3$。

所以在矩阵A中，存在 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=6n+3$，那么在 ${\left(2n+1\right)}^2\times A$ 中也有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}={\left(2n+1\right)}^2\left(6n+3\right)$。

又由于T是奇数阶和幻方，必存在 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=S_T$。

所以在 $P={\left(2n+1\right)}^2\times A+\left(\begin{array}{cc}T& T\\ T& T\end{array}\right)$ 中，有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=S_P$，同时可以计算得出 $S_P=2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2$。

根据构造的定理可以得出以下性质：

推论1 如果一个4n + 2阶矩阵P是一个始元和幻方，则 $P^{\text{T}}$ 也是一个始元和幻方。

证明：矩阵P的第i行第j列元素就是矩阵 $P^{\text{T}}$ 的第j行第i列元素，即有 ${\left[P\right]}_{ij}={\left[P^{\text{T}}\right]}_{ji}$。通过矩阵的转置并未改变幻方中原有的元素，所以在矩阵 $P^{\text{T}}$ 中的元素也是 $1\sim {\left[2\left(2n+1\right)\right]}^2$ 中的互不相同的数。由于矩阵的转置只是对行与列的元素进行了整体交换，并未改变矩阵中每行每列的总和，即原矩阵的行和等于现矩阵的列和，则在 $P^{\text{T}}$ 中有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2$。因此 $P^{\text{T}}$ 也是一个始元和幻方，且 $S_P=2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2$。

推论2 如果一个 $4n+2$ 阶矩阵P是一个始元和幻方，令 $A={\left(a\right)}_{\left(4n+2\right)\left(4n+2\right)},a\in N^{*}$，则 $A+P$ 是一个连元和幻方。

证明：由于P是一个始元和幻方，则P中元素互不相同，所以 $A+P$ 中的元素必然互不相同。在 $A+P$ 中，只是给原矩阵P中每个元素都加一个相同的数a，所以 $A+P$ 中的每行每列的和相比矩阵P中的每行每列的和都增加了 $a\left(4n+2\right)$，则在 $A+P$ 中有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2+a\left(4n+2\right)$。因此 $A+P$ 是一个连元和幻方，且 $S_{A+P}=2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2+a\left(4n+2\right)$。

推论3 如果一个 $4n+2$ 阶矩阵P是一个始元和幻方，则 $\forall a\in N^{*}$，aP是一个异元和幻方。

证明：由于P是一个始元和幻方，则P中元素互不相同，所以在aP中的元素必然互不相同。在aP中，只是给原矩阵P中每个元素乘以一个相同的数a，所以在aP中的每行每列的和都是矩阵P中每行每列的和的a倍，则在aP中有 $S_r=S_c=S_{md}=S_{cd}=a\left[2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2\right]$。因此aP是一个异元和幻方，且 $S_{aP}=a\left[2\left(4n^3+6n^2+4n+1\right)+\left(6n+3\right){\left(2n+1\right)}^2\right]$。

4. 小结

单偶数阶和幻方作为一类基本幻方，其构造方法并不唯一，本文仅仅为读者提供一种构造单偶数阶和幻方的新思路，即利用分块矩阵同时结合已知奇数阶和幻方构造单偶数阶和幻方。关于此方法是否可以构造奇数阶、双偶数阶和幻方，有待于日后再做进一步的研究。

基金项目

地区科学基金项目(12161086)。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。

参考文献