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The maximum feasible subsystem problem and vertex-facet incidences of polyhedra
Pfetsch, Marc E.
Hauptmotivation dieser Arbeit ist die Untersuchung des so genannten Maximum Feasible Subsystem problems (MaxFS) aus der kombinatorischen Optimierung, das folgendermaßen formuliert werden kann: Gegeben ist ein unzulässiges lineares Ungleichungssystem und gesucht ist ein möglichst großes zulässiges Teilsystem. Für dieses NP-schwere Problem gibt es eine Vielzahl interessanter praktischer Anwendungen. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit grundlegenden Eigenschaften des MaxFS-Problems. Zunächst wird eine neue geometrische Charakterisierung von minimalen unzulässigen Teilsystemen vorgestellt und dann gezeigt, dass das Problem, ein solches Teilsystem möglichst kleiner Kardinalität zu finden, NP-schwer ist. Danach wird das zu MaxFS assoziierte Polytop P_FS untersucht, welches die konvexe Hülle aller Inzidenzvektoren von zulässigen Teilsystemen des gegebenen Ungleichungssystems ist; dieses bietet die Grundlage für eine polyedrische Behandlung von MaxFS durch Branch-and-Cut-Algorithmen, z.B. im fünften Kapitel. Es wird zunächst (erneut) bewiesen, dass Ungleichungen, die zu minimalen unzulässigen Teilsystemen gehören, Facetten von P_FS definieren. Dann wird charakterisiert, unter welchen Bedingungen die von so genannten verallgemeinerten Antiwebs stammenden Ungleichungen Facetten definieren. Hierfür werden Resultate aus dem dritten Kapitel verwendet. Im zweiten Kapitel werden so genannte IIS-Hypergraphen untersucht; dabei entspricht jeder Knoten des Hypergraphen einer Ungleichung eines unzulässigen Systems Sigma: {A x <= b} und jede Kante einem minimal unzulässigen Teilsystem (IIS) von Sigma. Es wird bewiesen, dass das zugehörige Erkennungsproblem NP-schwer ist, wobei folgender, für diese Arbeit fundamentaler Zusammenhang benutzt wird: Ein IIS entspricht genau dem Träger einer Ecke des zu Sigma gehörigen Alternativpolyeders. Danach wird bewiesen, dass es auch keine Charakterisierung von IIS-Hypergraphen durch eine endliche Menge ausgeschlossener Minoren geben kann. Im dritten Kapitel werden Ecken-Facetten Inzidenzen von (unbeschränkten) Polyedern untersucht. Es stellt sich heraus, dass im Allgemeinen der Seitenflächenverband eines unbeschränkten Polyeders nicht aus seinen Inzidenzen rekonstruiert werden kann. Es ist jedoch möglich, an den Inzidenzen eines Polyeders festzustellen, ob es unbeschränkt oder beschränkt ist. Weiterhin wird bewiesen, dass es keine unbeschränkten d-Polyeder mit folgenden Eigenschaften gibt: d ist mindestens 2, in jeder Facette liegen d Ecken (simplizial) und jede Ecke ist in d Facetten enthalten (einfach). Die Resultate dieses Kapitels werden maßgeblich im ersten und zweiten Kapitel verwendet. Ein Algorithmus zum effizienten Berechnen des (Hasse-Diagramms des) Seitenflächenverbandes eines Polytopes aus seinen Ecken-Facetten-Inzidenzen wird im vierten Kapitel vorgestellt. Einige interessante Spezialfälle werden diskutiert, wovon einer auch im dritten Kapitel Anwendung findet. Im fünften Kapitel wird eine Implementierung eines Branch-and-Cut-Algorithmus zur Läsung des MaxFS-Problems vorgestellt. Diese Implementierung wird auf verschiedenen Testinstanzen evaluiert.
The main motivation for this thesis is the investigation of the so-called maximum feasible subsystem problem (MaxFS), which is a combinatorial optimization problem and can be formulated as follows: Given an infeasible linear inequality system, find a feasible subsystem of largest cardinality. This problem has many interesting practical applications. The first chapter studies fundamental properties of the MaxFS problem. First, a new geometric characterization of irreducible inconsistent subsystems (IIS) is provided and then it is proved that it is NP-hard to find such a subsystem of smallest size. Then we study the polytope P_FS corresponding to MaxFS, which is the convex hull of all incidence vectors of feasible subsystems; this approach is basic for the application of branch-and-cut algorithms to MaxFS, e.g., in the fifth chapter. We (re)prove that inequalities arising from IISs define facets of P_FS. Then it is characterized under which conditions inequalities corresponding to so-called generalized antiwebs define facets, thereby using results of chapter three. In the second chapter we investigate so-called IIS-hypergraphs; here, we have a node for each inequality of an infeasible system Sigma: {A x<= b} and an edge for each IIS. The corresponding recognition problem is shown to be NP-hard, where we use the following fundamental relation: an IIS corresponds exactly to the support of a vertex of the alternative polyhedron for Sigma. We the prove that there cannot exist a characterization of IIS-hypergraph based on a finite set of excluded minors. The third chapter deals with vertex-facet incidences of unbounded polyhedra. It turns out that in general the face lattice of such a polyhedron cannot be reconstructed from its incidences. It is, however, possible to decide whether the polyhedron is bounded or unbounded from the incidences. Moreover we prove that there cannot exist unbounded d-polyhedra with the following properties: d is at least two, each facet contains d vertices (simplicial) and each vertex is contained in d facets (simple). The results of this chapter are basic for the first and second chapter. An efficient algorithm to generate the (Hasse diagram of the) face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences is presented in the fourth chapter. Several interesting special cases are discussed, one of which is used in the third chapter. In the fifth chapter an implementation of a branch-and-cut algorithm for MaxFS is discussed and tested on several instances.
