Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 5(467), страницы 3–52 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10074 (Mi rm10074)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10074

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-11-00015
Работа поддержана проектом РНФ № 22-11-00015, выполняемым при МГУ им. М. В. Ломоносова.

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages 769–817
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10074e

Реферативные базы данных:

1. Введение

Цель этого обзора – рассказать о возникших в последнее десятилетие новых направлениях исследований задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В дополнение к известным монографиям [118] и [128], в которых подробное изложение охватывает основные достижения XX в., теперь имеется целый ряд более недавних подробных монографических освещений этой проблематики – см. [5], [7], [66], [69], [120], [129], [131], а также обзор [33], посвященный столетию Л. В. Канторовича, где подробно изложены основные достижения после выхода его основополагающей краткой заметки [84]. Тем не менее интенсивное развитие этой тематики опережает ее книжное изложение. За последнее десятилетие появилось несколько интересных новых модификаций классической задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В многообразии новых постановок задач, идей и методов, связанных с проблематикой Канторовича, можно выделить нелинейные задачи типа Канторовича, в которых минимизируются интегралы от функций, зависящих также от мер, по которым производится интегрирование, версии классической задачи с ограничениями на плотности транспортных планов (что не укладывается в другую интересную разновидность задачи Канторовича – оптимальные планы с дополнительными ограничениями), а также задачи Канторовича с параметрами. Цель этой статьи – дать систематическое освещение задач Канторовича с новыми постановками. Многие из приводимых ниже результатов имеют довольно сложные и длинные доказательства, поэтому такие результаты приводятся далее со ссылками на оригинальные работы. Однако в некоторых важных случаях включены и доказательства, особенно это касается утверждений, которые в оригинальных работах появились в каких-то специальных ситуациях, например для метрических пространств, но сохраняют силу для общих вполне регулярных пространств. Сведения о жизни и творчестве Л. В. Канторовича можно найти в изданных к его столетию материалах (см. [85], [124]–[126], а также [9]).

Чтобы сформулировать новые варианты задачи Канторовича, напомним ее классическую версию (в современном виде, поскольку сам Канторович рассматривал ее в более специальном случае). Пусть даны вероятностные пространства $(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ и $(Y,\mathcal{B}_Y,\nu)$ и неотрицательная $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$-измеримая функция $h$ (называемая функцией стоимости) на произведении $X\times Y$. В основополагающей работе самого Канторовича $X$ и $Y$ были метрическими компактами с борелевскими мерами, а функция стоимости (ее значение на паре точек $x$, $y$ интерпретировалось как работа по перемещению единицы массы из $x$ в $y$) была непрерывна; в важнейших примерах, в том числе в работах [87] и [88] с Г. Ш. Рубинштейном, а также в монографии [86; гл. VIII, § 4] она равна расстоянию. Впрочем, уже в [84] было отмечено, что “некоторые из приведенных определений и результатов могут быть высказаны и для пространств более общего вида”. Обозначим через $\Pi(\mu,\nu)$ множество всех вероятностных мер на пространстве $(X\times Y,\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y)$, имеющих проекции $\mu$ и $\nu$ на сомножители, т. е. мер $\sigma$, для которых

Задача Канторовича тесно связана с поставленной еще в XVIII в. задачей Монжа для той же тройки $(\mu,\nu,h)$, что и в задаче Канторовича, и состоящей в минимизации интеграла

Нелинейная задача также рассматривается на множестве планов $\Pi(\mu,\nu)$ с фиксированными проекциями, но она привела к еще одной интересной постановке задачи Канторовича, оказавшейся новой и в линейном случае. Эта постановка возникла в случае, когда функция стоимости задана не на $X\times Y$, а на $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $\mathcal{P}(Y)$ – пространство вероятностных мер на $Y$. Конечно, в качестве второго пространства в обычной задаче может фигурировать какое угодно пространство, в том числе и $\mathcal{P}(Y)$, но новшество задачи в том, что теперь задана не проекция плана на второй сомножитель, а барицентр проекции плана на второй сомножитель. Сам план – мера на $X\times \mathcal{P}(Y)$, проекция – мера на $\mathcal{P}(Y)$, т. е. мера на пространстве мер, а ее барицентр – мера на $Y$. В замечании 3.5 описана еще более общая постановка транспортной задачи, охватывающая как случай заданных проекций, так и случай фиксированного барицентра. В ней ограничение на план состоит в том, что заданы образы плана при некоторых отображениях $\Psi_1\colon X\times Y\to E_1$, $\Psi_2\colon X\times Y\to E_2$. Классическая задача соответствует проекциям на сомножители.

Таким образом, пока были упомянуты модификации, вызванные усложнением вида функции стоимости и заменой условий на проекции иными условиями на планы. Однако сравнительно недавно в работах Р. Маккэна с соавторами [90]–[93] была предложена весьма интересная и естественная с точки зрения приложений задача, в которой в классической линейной ситуации наложено дополнительное ограничение на транспортные планы, состоящее в том, что допустимы лишь планы, абсолютно непрерывные относительно фиксированной меры $\lambda$ на $X\times Y$ (в первых работах это была мера Лебега на $\mathbb{R}^n$ или на римановом многообразии), причем соответствующие плотности Радона–Никодима не превосходят заданную функцию $\Phi$ на $X\times Y$. В этой модификации наиболее подходящей топологией на пространстве мер оказалась слабая топология из пространства $L^1(\lambda)$. Изучение этой задачи было продолжено в работах [64], [30], [37], [44], некоторый обзор по ней дан в [29], поэтому здесь мы кратко подытожим полученное с учетом недавних результатов из [37], где задача с ограничениями на плотности была скомбинирована с упомянутыми выше модификациями. Таким образом, мы рассмотрим нелинейные транспортные задачи трех типов: с фиксированными маргиналами, с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром второго маргинала и с ограничениями на плотности транспортных планов. При этом возникают подтипы, когда нелинейная функция стоимости зависит от планов через их условные меры. Во всех этих видах задач Канторовича полезно рассмотреть параметрические задачи, в которых функция стоимости и маргиналы (или иные объекты) зависят от параметра. Параметрическим задачам посвящен отдельный небольшой раздел, но более подробное изложение можно найти в работах [34]–[36], [29]. Наконец, будут кратко затронуты вопросы, относящиеся к топологии пространств мер, поскольку они имеют прямое отношение ко всем типам обсуждаемых задач. По этим вопросам будут приведены результаты из недавних работ [36] и [3], в том числе оценки расстояний по Хаусдорфу между множествами транспортных планов.

В разделе 2 вводятся основные определения и обозначения, а также обсуждаются общие нелинейные задачи Канторовича оптимальной транспортировки, в разделе 3 рассмотрена линейная задача Канторовича классического вида, в которой второй сомножитель является пространством вероятностных мер на некотором пространстве $Y$, а вместо второго фиксированного маргинала, т. е. вместо меры на пространстве мер $\mathcal{P}(Y)$, задан барицентр проекции плана на второй сомножитель, т. е. мера на $Y$. Предмет раздела 4 – задачи с условными мерами. В разделе 5 дан краткий обзор по задачам с ограничениями на плотности (этот сюжет уже был освещен в статье [29], также приуроченной к настоящему юбилею). В разделе 6 речь идет о новых задачах со многими маргиналами при дополнительных проекциях. Параметрическим задачам посвящен раздел 7 (во избежание дублирования обзора [29] этой темы мы также коснемся весьма кратко), а раздел 8 содержит некоторую информацию о связанных с задачами Канторовича метриках и топологиях на пространствах мер.

2. Нелинейные задачи Канторовича

Основные версии различных задач оптимальной транспортировки привлекают к рассмотрению меры на топологических пространствах (хотя, как мы увидим ниже, есть версии и в терминах общих пространств с мерами). Поэтому напомним здесь основные понятия и введем используемые ниже обозначения. Подробное изложение этих вопросов можно найти в книгах [25] и [26].

Пусть $X$ – топологическое пространство (ниже речь идет о вполне регулярных или метрических пространствах). Через $\mathcal{B}(X)$ обозначается его борелевская $\sigma$-алгебра, т. е. наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества. Неотрицательная борелевская мера $\mu$ на $X$ (т. е. мера на $\mathcal{B}(X)$) называется радоновской, если для всякого борелевского множества $B$ в $X$ и всякого $\varepsilon>0$ найдется такой компакт $K_\varepsilon\subset B$, что $\mu(B\setminus K_\varepsilon)<\varepsilon$. Знакопеременная борелевская мера $\mu$ называется радоновской, если радонова ее полная вариация $|\mu|$, которая определяется как $|\mu|=\mu^{+}+\mu^{-}$, где $\mu^{+}$ и $\mu^{-}$ – положительная и отрицательная части меры $\mu$ из разложения Жордана–Хана $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$. Норма полной вариации задается формулой

Пространство всех радоновских знакопеременных мер на пространстве $X$ обозначим через $\mathcal{M}(X)$, подмножество неотрицательных мер – через $\mathcal{M}^+(X)$, а подмножество вероятностных мер – через $\mathcal{P}(X)$.

Если $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, то все борелевские меры на нем радоновы. Это же верно для суслинских пространств, т. е. образов полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях.

Образом борелевской меры $\mu$ при борелевском отображении $f$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ (т. е. отображении с борелевскими прообразами борелевских множеств) называется борелевская мера $\mu\circ f^{-1}$ на $Y$, заданная равенством

В рассматриваемом круге вопросов важную роль играет теорема Прохорова, согласно которой ограниченное по вариации равномерно плотное множество мер в $\mathcal{M}(X)$ содержится в слабо компактном множестве, причем в случае полного сепарабельного метрического пространства $X$ верно и обратное (см. [25], [26]). Типичным примером слабо компактного множества служит множество планов $\Pi(\mu,\nu)$ с радоновскими маргиналами $\mu$ и $\nu$. Равномерная плотность очевидна здесь из оценки

Если $(X,d)$ – метрическое пространство, то обозначим через $\operatorname{Lip}_1(d)$ множество $1$-липшицевых функций, т. е. таких функций $f$ на $X$, что

На подпространстве $\mathcal{M}^1(X)$ таких мер $\mu$, что для некоторого (а тогда и для всякого) $x_0\in X$ функция $d(x,x_0)$ интегрируема относительно полной вариации меры $\mu$, определена норма Канторовича

При заданном $p\geqslant 1$ на множестве $\mathcal{P}^p(X)\subset \mathcal{P}(X)$, состоящем из мер, относительно которых интегрируема функция $x\mapsto d(x,x_0)^p$, вводится $p$-метрика Канторовича $W_p$ по формуле

Важное наблюдение Канторовича состоит в том, что расстояние Канторовича между вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ совпадает с инфимумом в транспортной задаче с маргиналами $\mu$ и $\nu$ и функцией стоимости, равной метрике, т. е. с минимумом интегралов от метрики по мерам из множества $\Pi(\mu,\nu)$. Позже это равенство, называемое формулой двойственности Канторовича, было перенесено на весьма общую ситуацию полунепрерывной снизу функции стоимости $h$ на произведении вполне регулярных пространств $X$ и $Y$. Здесь величина $K_h(\mu,\nu)$ для мер $\mu\in \mathcal{P}(X)$ и $\nu\in \mathcal{P}(Y)$ совпадает с супремумом суммы

Существование минимума в нелинейной задаче Канторовича с фиксированными маргиналами или с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром доказывается совершенно аналогично случаю линейной задачи на основании следующего просто проверяемого факта. Однако исключением является задача с условными мерами, которая не охватывается этим подходом и рассматривается отдельно.

Дополнительное условие равномерной плотности слабо компактного множества $\Pi$ автоматически выполнено для полных сепарабельных метризуемых пространств, однако не обязано выполняться для суслинских пространств (скажем, оно может быть нарушено даже для множества рациональных чисел, см. результат Прайса в [26; теорема 4.8.6]). Поэтому интересно выяснить, можно ли его снять в этом предложении. При этом можно рассматривать ограниченные непрерывные функции стоимости $h$, так как полунепрерывная снизу ограниченная функция $h$ является пределом возрастающей направленности ограниченных непрерывных функций $h_\alpha$ и поэтому

3. Задачи с фиксированными барицентрами

Имеется общее понятие барицентра или среднего радоновской меры $\mu$ на локально выпуклом пространстве $X$, относительно которой интегрируем всякий непрерывный линейный функционал на $X$: это такой вектор $b\in X$, что

Если пространство $E$ суслинское, то пространство мер $\mathcal{P}(E)$ со слабой топологией тоже суслинское, поэтому каждая борелевская мера на $\mathcal{P}(E)$ автоматически радонова и сосредоточена на счетном объединении компактов, причем эти компакты метризуемы (даже если само $E$ неметризуемо). Однако для довольно простых пространств (например, для множества рациональных чисел) компакты в $\mathcal{P}(E)$ могут не быть равномерно плотными. Тем не менее всякая мера из $\mathcal{P}(\mathcal{P}(E))$ сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств (см. [25; теорема 8.10.6]). Это верно и в более общем случае такого вполне регулярного пространства $E$, что все $\tau$-аддитивные меры на $E$ радоновы. Было бы интересно найти пример меры Радона на пространстве радоновских вероятностных мер, равной нулю на всех равномерно плотных компактных множествах.

Поскольку множества $\Pi_\delta$ в доказательстве выше строились через множества $K_\varepsilon$, выбираемые согласно значениям на них барицентра, то совершенно аналогичное рассуждение доказывает следующее утверждение.

Отметим, что если $P$ – радоновская мера на произведении $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства, $\mu$ – ее проекция на $X$, причем существуют условные меры $P^x$ на $\mathcal{P}(Y)$ относительно $\mu$, то барицентр проекции меры $P$ на $\mathcal{P}(Y)$, обозначаемой через $P_{\mathcal{P}}$, задается формулой

Перейдем к постановке нелинейной транспортной задачи Канторовича с фиксированным барицентром. В качестве пространства здесь берется произведение $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства. На этом произведении задана полунепрерывная снизу функция стоимости

Напомним, что в общей ситуации для функции $h$ на произведении $X\times Z$ множество $\Gamma\subset X\times Z$ называется $h$-циклически монотонным, если для всех $n$ верно неравенство

Известно (см. [20]), что в классической задаче, где $X$ и $Z$ – суслинские пространства, $\mu\in \mathcal{P}(X)$, $\nu\in \mathcal{P}(Z)$ и борелевская функция стоимости $h$ такова, что существует оптимальная мера $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$, эта мера сосредоточена на некотором борелевском $h$-циклически монотонном множестве. С помощью этого рассуждения применительно к $Z=\mathcal{P}(Y)$ доказывается такой результат.

Доказательство см. в [37], оно совпадает со стандартным доказательством для линейной задачи.

К задаче Канторовича для тройки $(\mu,P_\mathcal{P}, h)$ можно применить теорему двойственности, которая дает равенство минимума в задаче (3.2) величине

Задача Монжа также обладает модификацией с фиксированным барицентром. Об этом будет сказано в следующем разделе в связи с нелинейными задачами с условными мерами.

4. Задачи с условными мерами

В работах [80], [4], [15], [2], [16] было доказано существование минимумов в задаче с условными мерами при дополнительном предположении выпуклости функции стоимости относительно аргумента-меры. Следующее обобщение этих результатов на вполне регулярные пространства получено в [38]. В нем вместо борелевских используются бэровские $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}a(X)$ и $\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))$, порождаемые всеми непрерывными функциями на соответствующих пространствах. Для общего вполне регулярного пространства бэровская $\sigma$-алгебра меньше борелевской, но для суслинских вполне регулярных пространств они совпадают. В частности, если $Y$ – суслинское вполне регулярное пространство, то $\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))=\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y))$.

Доказательство сводится к проверке полунепрерывности снизу минимизируемого интегрального функционала. Поскольку сумма полунепрерывных снизу функций также полунепрерывна снизу, можно объединить утверждения теорем 2.2 и 4.1.

Отметим, что согласно [2; теорема 3.9] для непрерывной ограниченной функции стоимости $H(x,p)$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, инфимум в нелинейной задаче с условными мерами и безатомическим маргиналом $\mu\in \mathcal{P}(X)$ равен минимуму в такой же задаче с функцией стоимости $H^{**}(x,p)$, определяемой как наибольшая  функция, мажорируемая $H(x, p)$, среди функций, которые по второму аргументу выпуклы и полунепрерывны снизу.

Не изучен случай функции стоимости вида $H(x,y,\sigma^x)$, задающей функционал

Известны примеры (см. [4; примеры 3.2 и 3.3]) отсутствия минимума в задаче с условными мерами. В работе [37] построены примеры такого рода с некоторыми дополнительными свойствами, в частности, оба маргинальных распределения совпадают с мерой Лебега на отрезке, а функция стоимости липшицева. Опишем здесь эти примеры, отсылая к [37] за обоснованиями, которые не очень коротки.

Следующий пример из [37] интересен тем, что функция стоимости распадается в произведение функций одного аргумента.

Обсудим теперь интересную модификацию задачи Монжа с фиксированным барицентром. Такая модификация возникает в том случае, когда в качестве второго пространства берется пространство радоновских вероятностных мер $\mathcal{P}(Y)$ на суслинском пространстве $Y$, а функция стоимости $h$ задана на $X\times \mathcal{P}(Y)$, причем $X$ – также суслинское пространство. Пусть еще задана радоновская вероятностная мера $\beta$ на $Y$. Задача Монжа на $X\times \mathcal{P}(Y)$ с фиксированным барицентром $\beta$ для тройки $(\mu,\beta, h)$ ставится так:

Значит, если есть минимизирующее отображение $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ в нашей модифицированной задаче Монжа, то мера

В итоге приходим к следующему утверждению.

Из приведенных выше рассуждений видно, что это утверждение остается в силе и в более общем случае, когда всякая мера $\sigma$ из $\Pi(\mu,\beta)$ обладает условными мерами на $Y$, борелевски зависящими от $x$.

Предположим теперь, что мы рассматриваем обычную задачу Монжа с мерами $\mu$ и $\nu$ на вполне регулярных суслинских пространствах $X$ и $Y$ и с борелевской функцией стоимости $h$ на $X\times Y$. Пространство $Y$ канонически вложено в пространство вероятностных мер $\mathcal{P}(Y)$ посредством отображения $y\mapsto \delta_y$, где $\delta_y$ – мера Дирака в точке $y$. При этом вложении образ $Y$ замкнут в $\mathcal{P}(Y)$, см. [25; лемма 8.9.2]. Продолжим функцию $h$ борелевски с $X\times Y$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$, причем если исходная функция была непрерывна или полунепрерывна снизу, то и продолжение возьмем с тем же свойством. Это возможно, поскольку вполне регулярные суслинские пространства совершенно нормальны (см. [25; теорема 6.7.7]), а пространство мер $\mathcal{P}(Y)$ тоже суслинское. Для продолжения непрерывной функции $h$ применима теорема Урысона, а в случае полунепрерывной функции $h$ надо воспользоваться тем фактом, что для нее найдутся такие непрерывные функции $h_\alpha$ на $X\times Y$, что $h(x,y)=\sup_\alpha h_\alpha(x,y)$ для всех $x\in X$, $y\in Y$, что позволяет найти непрерывные продолжения $H_\alpha$ этих функций на $X\times \mathcal{P}(Y)$ и получить полунепрерывную снизу функцию $H=\sup_\alpha H_\alpha$ на пространстве $X\times \mathcal{P}(Y)$. Эта функция совпадает с исходной на $X\times Y$. Если задача Монжа (4.1) на $X\times \mathcal{P}(Y)$ с фиксированным барицентром $\nu$ обладает минимизирующим отображением $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$, то можно назвать его ослабленным решением исходной задачи Монжа, а новую задачу – ослаблением исходной. Даже если исходная задача имела решение, то минимум в ней не обязан быть минимумом ослабленной задачи. Так будет, если $h(x,y)=1$, но $\nu$ не является мерой Дирака, а продолжение $H$ функции $h$ таково, что $H(x,\nu)=0$. Тогда в ослабленной задаче минимум нулевой, оптимальное отображение тождественно равно $\nu$. Поэтому нужны какие-то ограничения на продолжение, чтобы сделать ослабленную задачу содержательной. Инфимум в ней не больше инфимума в исходной задаче, ибо если отображение $S\colon X\to Y$ переводит $\mu$ в $\nu$, то для отображения $T\colon x\mapsto \delta_{S(x)}$ барицентр меры $\mu\circ T^{-1}$ равен $\nu$, так как для всякого борелевского множества $B\subset Y$ в силу соотношения $\nu=\mu\circ S^{-1}$ верно равенство

Нелинейные задачи изучаются также в недавней работе [17].

5. Оптимальная транспортировка с ограничениями на плотности

Еще одна упомянутая выше новая модификация задачи Канторовича, введенная в работах [90]–[93], связана с ограничениями на плотности транспортных планов. Сначала сформулируем ее для случая двух маргиналов. Пусть, как и в классической задаче Канторовича, заданы вероятностные пространства $(X, \mathcal{B}_X,\mu)$ и $(Y,\mathcal{B}_Y,\nu)$, а также $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$-измеримая функции стоимости $h\geqslant 0$. Кроме того, пусть заданы вероятностная мера $\lambda$ на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$ пространства $X\times Y$ и интегрируемая относительно $\lambda$ функция $\Phi$. Например, в качестве $\lambda$ можно взять произведение $\mu\otimes\nu$.

Рассмотрим класс $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$ всех вероятностных мер $\sigma$ на $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$, входящих в $\Pi(\mu,\nu)$, абсолютно непрерывных относительно $\lambda$ и имеющих плотность Радона–Никодима, удовлетворяющую оценке

Рассмотрим задачу

Теперь можно ввести нелинейную версию задачи с ограничением на плотности планов. Здесь от функции стоимости потребуются дополнительные свойства топологического характера.

Пусть $\mathcal{P}_\lambda$ – множество всех вероятностных плотностей в $L^1(\lambda)$. На нем есть две естественные топологии: топология нормы и слабая топология из банахова пространства $L^1(\lambda)$. Обозначим через $\mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda)$ борелевскую $\sigma$-алгебру относительно нормы. Если $L^1(\lambda)$ сепарабельно (что выполнено для борелевских мер на суслинских пространствах), то $\mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda)$ совпадает с борелевской $\sigma$-алгеброй относительно слабой топологии.

Для задач с ограничениями на плотности полезно сразу отметить, что если множество $M\subset \mathcal{P}(X)$ состоит из мер, абсолютно непрерывных относительно некоторой вероятностной меры $\lambda_0$, то на $M$ (после отождествления мер с их плотностями относительно $\lambda_0$) возникает конкурирующая со слабой топологией пространства мер слабая топология пространства $L^1(\lambda_0)$, которая обычно строго сильнее, поскольку порождается двойственностью с пространством всех ограниченных борелевских функций на $X$ вместо пространства всех ограниченных непрерывных функций. Однако борелевские структуры, индуцируемые на $M$ этими двумя различными топологиями, а также еще более сильной топологией нормы, совпадают в том случае, когда $X$ – суслинское пространство. Это следует из того факта, что последовательность непрерывных функций на суслинском пространстве, разделяющая точки, порождает его борелевскую $\sigma$-алгебру (см. [25; теорема 6.8.9]), а множество вероятностных плотностей в $L^1(\lambda_0)$ является суслинским подмножеством в топологии нормы, ибо оно замкнуто, а $L^1(\lambda_0)$ сепарабельно. Отметим также, что если множество плотностей мер из $M$ равномерно интегрируемо (это равносильно тому, что его замыкание в слабой топологии в $L^1(\lambda_0)$ слабо компактно, а также равносильно его равномерной счетной аддитивности, см. [25; гл. 4]), то на $M$ слабая топология пространства мер совпадает со слабой топологией из $L^1(\lambda_0)$. В самом деле, всякий функционал вида

Приведем результат из недавней работы [37]. Предположим, что задана функция

На множестве $\Pi_\Phi(\mu_1,\mu_2)$, вложенном в $L^1(\lambda)$ посредством отождествления мер с их плотностями относительно $\lambda$, определен функционал

Использованное в этой теореме условие полунепрерывности снизу функции $h$ по $p$ относительно нормы значительно слабее, чем такое же условие в слабой топологии. Однако если выпуклой по $p$ является сама функция $h$ (а не интеграл), то эти условия равносильны. Тем не менее выпуклость $h$ по последнему аргументу не влечет выпуклость $J_h$, поэтому условие предыдущей теоремы вряд ли можно считать конструктивным. Если же функция стоимости имеет вид

Далее мы будем иметь дело с суслинскими вполне регулярными пространствами $X$ и $Y$. Тогда, как и выше, всякая мера $p$ на $X\times Y$ с проекцией $\mu$ на $X$ обладает условными мерами $p^x$ на $Y$ относительно $\mu$, т. е.

Поскольку мы имеем дело с условными мерами на $\mathcal{B}(Y)$, разумно наделить пространство $\mathcal{M}(Y)$ всех ограниченных мер на $\mathcal{B}(Y)$ $\sigma$-алгеброй $\mathcal{E}(\mathcal{M}(Y))$, порожденной всеми функциями $\nu\mapsto \nu(B)$, $B\in \mathcal{B}(Y)$. Отметим, что так как $Y$ – вполне регулярное суслинское пространство, то эта $\sigma$-алгебра является счетно порожденной. В самом деле, имеется счетное семейство борелевских множеств, разделяющее точки пространства $Y$ и порождающее борелевскую $\sigma$-алгебру (см. [25; теоремы 6.7.7 и 6.8.9]). Поэтому есть и счетная алгебра множеств $\mathcal{A}$ с таким свойством. Рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathcal{E}_0$, порожденную счетным набором функций $\nu\mapsto \nu(A)$, $A\in \mathcal{A}$. Обозначим через $\mathcal{B}_0$ класс всех борелевских множеств $B\subset Y$, для которых функция $\nu\mapsto \nu(B)$ измерима относительно $\mathcal{E}_0$. Этот класс содержит алгебру $\mathcal{A}$ и является монотонным, т. е. содержит объединения возрастающих последовательностей и пересечения убывающих последовательностей своих элементов. По классической теореме о монотонных классах он содержит $\sigma$-алгебру, порожденную алгеброй $\mathcal{A}$ (см. [25; теорема 1.9.3]), и тем самым совпадает со всей борелевской $\sigma$-алгеброй.

В следующей теореме предполагается, что функция $h$ измерима относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}(X)\otimes \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y))$. Тогда функция

Задачи транспортировки такого типа можно записать в виде

Следующая теорема из [37] аналогична предыдущей, но она не является ее следствием, так как функция стоимости зависит от условных мер, а не от всего плана.

В работе [37] рассмотрен следующий пример нелинейной задачи Канторовича с условными мерами и ограничением на плотности планов, где нет решения.

6. Мультимаргинальные и мультистохастические задачи

Транспортные задачи со многими маргиналами отличаются от классических тем, что транспортные планы заданы на произведении более чем двух пространств (возможно, и бесконечного их числа), на которых зафиксированы проекции. Мультимаргинальные задачи изучались многими авторами – см. недавние работы [19], [22], [51], [62], [67], [71], [74], [77], [81], [110], [113]–[115], где есть дополнительные ссылки. Все те новые задачи, которые упоминались выше, также могут быть поставлены в такой ситуации. Однако в последние годы стали популярны так называемые мультистохастические транспортные задачи, в которых планы задаются на произведениях многих сомножителей, но появляются дополнительные ограничения, состоящие в том, что проекции задаются не только на отдельных сомножителях, но и на конечных произведениях части сомножителей. Например, для мер на трехмерном пространстве задаются не только проекции на координатные оси, но и проекции на двумерные координатные подпространства. Конечно, в этом случае множество допустимых планов может оказаться пустым, так что возникает вопрос об условиях непустоты этого множества.

Пусть заданы $n$ вполне регулярных пространств $X_1,\dots,X_n$ и натуральное число $k<n$. Пусть $p$ и $q$ – целые неотрицательные числа, $q \leqslant p$. Обозначим через $\mathcal{I}_{pq}$ семейство подмножеств множества $\{1,2,\dots,p\}$ размера $q$. Через $\mathcal{I}_p=\bigcup\limits_{q=0}^p\mathcal{I}_{pq}$ обозначим семейство всех подмножеств набора $\{1,2,\dots,p\}$.

Для всех $\alpha\in \mathcal{I}_n$ положим $X_\alpha=\displaystyle\prod_{i\in\alpha}X_i$. Пусть $X=\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i$. Для всякого $\alpha \in \mathcal{I}_n$ через $\mathrm{Pr}_\alpha$ обозначим проектор на множество $X_\alpha$. Пусть для каждого $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$ на множестве $X_\alpha$ определена радоновская вероятностная мера $\mu_\alpha$. Обозначим через $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ множество радоновских вероятностных мер (возможно, пустое) со свойством $\mu\circ\mathrm{Pr}_\alpha^{-1}=\mu_\alpha$ для всех $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$. Меры из $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ называют объединяющими. Прямая $(n,k)$-задача Монжа–Канторовича ставится следующим образом.

Эта $(n,k)$-задача Монжа–Канторовича (она же мультистохастическая транспортная задача) изучалась в работах [75] и [76]. Интерес к ней мотивирован следующим специальным случаем, оказавшимся довольно характерным для этой задачи. Напомним, что побитовым сложением двух чисел $x,y \in [0,1]$ называется следующая операция: если

Идея доказательства того, что мера на $S$ действительно является решением, вытекает из следующего наблюдения. Пусть $T_1(x,y,z)=(1-x,y,z)$. Аналогично определяем $T_2$, $T_3$. Для всякой меры $\pi \in \Pi(\lambda_{xy},\lambda_{xz},\lambda_{yz})$ имеют место равенства

В работе [75] доказана следующая теорема двойственности (см. более общий результат в [76]).

Решение задачи, двойственной к задаче из теоремы 6.2, описано в следующей теореме. Открыт вопрос о единственности этого решения.

Решение двойственной задачи, данное в теореме 6.4, связано с решением $\pi$ прямой задачи следующим образом: мера $\pi$ сосредоточена на графике отображения $(x,y) \mapsto f_{xy}(x,y)$, т. е. $\pi$-почти всюду

Отметим, что в случае мультистохастической задачи вопрос непустоты множества $\Pi(\{\mu_{\alpha}\})$ нетривиален. Ясно, что для этого система мер $\mu_{\alpha}$ должна обладать очевидным свойством согласованности: для всех $\alpha,\beta \in \mathcal{I}_{nk}$ должно выполняться равенство $\mu_\alpha\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}= \mu_\beta\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}$. Этого свойства недостаточно для непустоты $\Pi(\{\mu_{\alpha}\})$, но достаточно для существования заряда (знакопеременной меры) $P$ со свойством $P\circ \mathrm{Pr}_{\alpha}^{-1}=\mu_{\alpha}$. Существуют “двойственные” достаточные условия непустоты этого множества, которые трудно проверить явно. Одно из конструктивных достаточных условий дано в следующей теореме.

Приведем простые достаточные условия существования двойственного решения.

Отметим, что при отсутствии условия разложимости двойственная задача может не иметь решения даже в дискретном случае.

Наконец, для ограниченной функции стоимости в некоторых ситуациях оказывается возможным доказать ограниченность решения.

7. Оптимальная транспортировка с параметрами

Представляет интерес рассмотрение транспортных задач с параметром, от которого могут зависеть маргиналы и функция стоимости, а также иные данные задачи. Такие задачи изучались в работах [63], [129], [134], [96], [34]–[36]. Первые возникающие здесь вопросы – измеримость и непрерывность решений и минимумов по параметру. Измеримость имеет место при весьма широких условиях. Для упрощения технических деталей мы остановимся на случае, когда $X$ и $Y$ – вполне регулярные суслинские пространства, например полные сепарабельные метрические пространства.

В задачах без ограничений на плотности планов пространства мер наделяются слабыми топологиями и порожденными ими борелевскими $\sigma$-алгебрами $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X))$, $\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y))$, $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y))$. При наличии ограничения на плотности естественно использовать топологии, связанные с пространством $L^1$, о чем уже говорилось выше.

Пусть $(T,\mathcal{T})$ – измеримое пространство, отображение $t\mapsto \mu_t$, $T\to \mathcal{P}(X)$, является $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X)))$-измеримым, отображение $t\mapsto \nu_t$, $T\to \mathcal{P}(Y)$, является $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y)))$-измеримым. В нашей ситуации такая измеримость сводится к $\mathcal{T}$-измеримости числовых функций

В наиболее важных примерах $(T,\mathcal{T})$ – метрическое пространство с борелевской $\sigma$-алгеброй, поэтому речь идет о борелевской измеримости указанных отображений.

Функция стоимости $h\geqslant 0$ на $T\times X\times Y$ предполагается измеримой относительно $\mathcal{B}(T)\otimes\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)$.

Сначала рассмотрим случай, когда $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, но $(T,\mathcal{T})$ – общее измеримое пространство.

Отметим, что в [34; теорема 4.1], где доказан этот результат, в формулировке имеется опечатка: вместо $\mathcal{T}$-измеримоcти говорится о $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)))$-измеримости, которая относится к последнему утверждению теоремы. Заметим также, что ввиду непрерывности по $(x,y)$ в этой теореме измеримость по совокупности переменных следует из измеримости по $t$ при фиксированных $x$, $y$.

В следующей теореме ослаблено предположение о непрерывности функции стоимости, но $T$ должно быть суслинским пространством.

Хотя эти теоремы охватывают необходимые для приложений пространства, было бы интересно выяснить, верна ли теорема 7.1 для суслинских пространств $X$ и $Y$ и полунепрерывных снизу функций стоимости (такой результат давал бы все три теоремы как частные случаи). В [34] в случае суслинских пространств и полунепрерывных снизу функций стоимости получены результаты о более слабой измеримости относительно $\sigma$-алгебры, порожденной суслинскими множествами.

В работе [35] доказаны следующие теоремы о зависимости решений нелинейной задачи от параметра. Напомним, что лузинские пространства – образы полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных взаимно однозначных отображениях (это подкласс суслинских пространств).

Наконец, параметрическая версия транспортной задачи с ограничением на плотности планов рассмотрена в [30], где получен следующий результат.

Пусть даны последовательность измеримых пространств $(X_n,\mathcal{B}_n)$ и вероятностная мера $\lambda$ на произведении $X=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty X_n$, наделенном произведением $\mathcal{B}$ данных $\sigma$-алгебр $\mathcal{B}_n$. Обозначим через $\lambda_n$ проекцию $\lambda$ на $X_n$. Будем предполагать, что мера $\lambda$ сепарабельна, т. е. сепарабельно $L^1(\lambda)$. Тогда сепарабельны и меры $\lambda_n$. Для каждого $n$ зафиксируем последовательность ограниченных $\mathcal{B}_n$-измеримых функций $\varphi_{n,j}$, всюду плотную в $L^1(\lambda_n)$. Кроме того, зафиксируем счетный набор множеств $A_j\in\mathcal{B}$ с тем свойством, что всякое множество из $\mathcal{B}$ совпадает с каким-то из $A_j$ с точностью до множества $\lambda$-меры нуль. Такой набор существует в силу сепарабельности меры $\lambda$.

Предположим, что $(T,\mathcal{T})$ – измеримое пространство, причем для каждого $t\in T$ даны вероятностная мера $\mu_{n,t}$ на $\mathcal{B}_n$, абсолютно непрерывная относительно $\lambda_n$, неотрицательная $\mathcal{B}$-измеримая функция $h_t$ на $X$ и неотрицательная $\lambda$-интегрируемая функция $\Phi_t$ на $X$, для которых $\mathcal{B}\otimes \mathcal{T}$-измеримы функции

Плотность Радона–Никодима меры $\mu_{n,t}$ относительно меры $\lambda_{n}$ обозначим через $\varrho_{n,t}$, т. е.

Каждое множество $\mathcal{L}_t$ компактно в слабой топологии, ибо оно очевидным образом слабо замкнуто и содержится в множестве неотрицательных функций, не превосходящих $\Phi_t$, а последнее слабо компактно в силу равномерной интегрируемости (см. [25; § 4.7(iv)]).

Если плотности $\varrho_{n,t}$ ограничены числом $C$, то достаточным условием непустоты $\mathcal{L}_t$ является оценка $\Phi_t\geqslant C$. Если сомножителей всего два и $\lambda=\lambda_1\otimes\lambda_2$, то достаточно иметь $\varrho_{1,t}(x_1)\varrho_{2,t}(x_2)\leqslant \beta_t(x_1,x_2)$. Если $\mathcal{L}_t$ непусто и есть функция $v_t\in \mathcal{L}_t$, для которой $h_tv_t\in L^1(\lambda)$, то функционал

Для $\sigma$-алгебры $\mathcal{T}$ обозначим через $\mathcal{S}(\mathcal{T})$ класс множеств, полученных из $\mathcal{T}$ операцией Суслина (см. [25]), а через $\sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T}))$ порожденную этим классом $\sigma$-алгебру. Пусть $\widehat{\mathcal{T}}$ есть порожденный $\mathcal{T}$ класс универсально измеримых множеств, т. е. пересечение пополнений $\mathcal{T}$ по всем вероятностным мерам на $\mathcal{T}$. Как известно (см. [25; теорема 1.10.5]), $\sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T}))\subset \widehat{\mathcal{T}}$.

Результаты, относящиеся к непрерывности по параметру в задачах оптимальной транспортировки, имеются в работах [23], [72], [121], [79], [36]. В последней работе получены наиболее общие результаты. Однако для упрощения формулировок мы приведем их в меньшей общности.

Пусть $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, $T$ – метрическое пространство, для каждого $t\in T$ заданы меры $\mu_t\in \mathcal{P}(X)$, $\nu_t\in \mathcal{P}(Y)$, причем отображения $t\mapsto\mu_t$ и $t\mapsto\nu_t$ непрерывны в слабой топологии. Кроме того, пусть $h\colon T\times X\times Y\to [0,+\infty)$ – непрерывная функция. Положим

Однако при отсутствии единственности может оказаться, что невозможно выбрать оптимальные планы, непрерывно зависящие от параметра $t$. Простые примеры такого рода построены в [36]. В частности, можно взять меры $\mu_t$ и $\nu_t$ равными мере Лебега на $[0,1]$ (т. е. они не зависят от $t$) и функцию стоимости

Для оптимальных отображений Монжа также можно ставить вопрос об измеримой или непрерывной зависимости от параметра. Например, следующий результат из [36] дает непрерывность отображения Монжа по параметру в метрике сходимости по вероятности.

Ранее в работах [8], [61], [105] близкие результаты были получены для некоторых специальных случаев, связанных с исследованием условий существования и единственности отображений Монжа.

8. Метрики и топологии типа Канторовича

Напомним (см. [65]), что топология всякого вполне регулярного топологического пространства $X$ порождается семейством псевдометрик $\Pi$ (псевдометрика отличается от метрики тем, что может обращаться в нуль на паре различных элементов). Для псевдометрики $d$ на пространстве $X$ обозначим через $\operatorname{Lip}_1(d)$ множество $1$-липшицевых функций относительно $d$, т. е. таких функций $f$ на $X$, что

Отметим простое достаточное условие сходимости в топологии $\tau_{\rm K}$. Для семейства псевдометрик $\Pi$, порождающего топологию пространства $X$, обозначим через $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$ класс мер $\mu\in \mathcal{M}(X)$, для которых функции $x\mapsto p(x,x_0)$ при $p\in\Pi$ интегрируемы относительно $|\mu|$ для фиксированного $x_0\in X$ (выбор $x_0$ не влияет на определение этого класса).

В примере 8.6 ниже мы увидим, что для направленностей знакопеременных мер недостаточно вместо сходимости в топологии $\tau_{\rm KR}$ иметь слабую сходимость.

Аналогичный результат верен для топологии $\tau_{{\rm K},q}$ при $q\geqslant 1$, которая вводится на подклассе $\mathcal{M}^{\Pi,q}(X)$ в $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$, состоящем из мер $\mu$, для которых относительно $|\mu|$ интегрируемы все функции $x\mapsto p(x,x_0)^q$ при $p\in\Pi$. Эта топология порождается полунормами

Если меры $\mu_\alpha\in \mathcal{M}^1$ на локально выпуклом пространстве $X$ имеют барицентры $b_\alpha$ и сходятся в топологии $\tau_{\rm K}$ к мере $\mu\in \mathcal{M}^1$ с барицентром $b$, то имеет место сходимость барицентров $b_\alpha\to b$. В самом деле, для всякой непрерывной полунормы $p$ на $X$ имеет место оценка

Применительно к сходимости барицентров получаем такое утверждение.

Следующий пример показывает, что последнее утверждение следствия может быть неверным для направленностей знакопеременных мер, что в силу сказанного выше дает контрпример и для последнего утверждения теоремы 8.3 в случае направленностей.

Имеются простые достаточные условия компактности множеств из $\mathcal{M}(X)$ в топологии $\tau_{\rm KR}$ и множеств из $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$ в топологии $\tau_{\rm K}$.

Следующий результат из [3] показывает, что равномерно плотное множество радоновских мер на банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой остается равномерно плотным относительно некоторой более сильной нормы, которая также равномерно интегрируема (так что при условии ограниченности по вариации это семейство содержится в компакте по норме Канторовича). Более того, это семейство равномерно плотно на некотором компактно вложенном сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой.

Метрики типа Канторовича и Канторовича–Рубинштейна позволяют ввести удобные расстояния Хаусдорфа на множествах мер.

Напомним, что расстояние Хаусдорфа между ограниченными замкнутыми подмножествами $A$ и $B$ метрического пространства $(M,d)$ определяется формулой

В случае множества $\mathcal{P}^p(X\times Y)$ с метрикой $W_p$ расстояние Хаусдорфа $H_{\rm K}^p$ задается на пространстве замкнутых подмножеств пространства $\mathcal{P}^p(X\times Y)$.

Для общих вполне регулярных пространств $X$ и $Y$ возникают аналогичные конструкции. Топологии этих пространств могут быть заданы семействами псевдометрик $\Psi_X$ и $\Psi_Y$. Топология произведения $X\times Y$ порождается псевдометриками

Оценки, связывающие расстояние Канторовича с соболевскими нормами, изучаются в [39], [42], [43], [40].

В работе [27] рассмотрены свойства секвенциальной непрерывности для пространства мер $\mathcal{M}(X)$ со слабой топологией. Это пространство неметризуемо, если $X$ бесконечно, но в случае, когда $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, всякий линейный функционал $l$ на $\mathcal{M}(X)$, который секвенциально непрерывен в слабой топологии (т. е. $l(m_n)\to 0$, если последовательность $m_n$ слабо сходится к нулю), оказывается непрерывным в обычном топологическом смысле. Более общий результат содержится в [27; теорема 1]. При этом для нелинейных функций из секвенциальной непрерывности не следует обычная.

Для задач оптимальной транспортировки бывают полезны результаты о приближении мер на бесконечномерных банаховых или локально выпуклых пространствах их конечномерными образами, т. е. образами при непрерывных линейных отображениях с конечномерными образами. Такие приближения очевидным образом возможны в пространствах с базисами Шаудера, но в общем случае вопрос открыт (см. обсуждение в [28]).

В работе [53] изучается сглаживание метрик Канторовича (которые продолжают ошибочно именоваться “Wasserstein distances”, как и во многих других зарубежных работах).

Различные задачи, связанные с транспортными расстояниями, топологическими свойствами пространств мер, а также близкие вопросы теории метрических пространств с мерами обсуждаются в работах [6], [10]–[13], [18], [24], [52], [78], [83], [89], [101], [104], [116], [122], [123].

9. Другие направления исследований

Упомянем еще несколько направлений исследований последних лет в области оптимальной транспортировки.

Интенсивно развивается мартингальная оптимальная транспортировка – см. [17], [21], [47], [58], [73], [82], [95], [103], [112], [130]. В простейшем случае задача ставится для $n$ борелевских вероятностных мер на прямой и ограниченной борелевской функции стоимости $h$ на $\mathbb{R}^n$. Она состоит в минимизации интеграла

Эта модификация задачи Канторовича укладывается в рассмотренные в работах [132] и [133] общие задачи типа Канторовича с дополнительными линейными ограничениями, в том числе связанными с различными симметриями решений, но обладает рядом важных специфических особенностей. Приведем точную формулировку задачи с линейными ограничениями. Пусть даны вполне регулярные пространства $X_i$ с радоновскими вероятностными мерами $\mu_i$, $i=1,\dots,n$. Через $\Pi(\mu_1,\dots,\mu_n)$ обозначим множество мер из $\mathcal{P}(X_1 \times \cdots \times X_n)$ с проекциями $\mu_i$ на сомножители. Функциональные пространства

Упомянем также задачу Шрёдингера, которая была поставлена им в связи с некоторыми вопросами статистической физики. Оказалось, что некоторый специальный случай задачи Монжа–Канторовича может быть получен как предел последовательности задач Шрёдингера при подходящей нормализации. Этому направлению посвящены работы [55], [56], [70], [99], [98]. В задаче Шрёдингера рассматривается мера $R$ на некотором пространстве непрерывных траекторий на отрезке $[0,1]$ (скажем, на $C([0,1],\mathbb{R}^n)$), являющаяся распределением броуновского движения, для которого распределение точки старта задано мерой Лебега ($R$ может быть неограниченной мерой). Ставится задача минимизации энтропии

Транспортные задачи, связанные с гауссовскими мерами и их нелинейными преобразованиями, изучаются в [48]–[50].

Оптимальная транспортировка векторных (в том числе матричных) мер рассмотрена в [45], [54], [57], [60], [106]. Другой вид векторной оптимальной транспортировки изучается в книге [131], где для неотрицательных мер $\mu_1,\dots,\mu_d$ на пространстве $X$, неотрицательных мер $\nu_1,\dots,\nu_d$ на пространстве $Y$ и функции стоимости $h$ на $X\times Y$ ставится задача минимизации интеграла

Про метрические барицентры, порожденные метриками типа Канторовича, см. работу [68].

Применение задачи Канторовича к проблеме Плато минимальной поверхности с заданной границей обсуждается в [46].

Связи оптимальной транспортировки с проблемой малых знаменателей рассмотрены в [94].

Регуляризация транспортных задач изучается в [61], [105].

Динамические аспекты оптимальной транспортировки рассмотрены в работах [59], [107].

В изложенных выше результатах речь шла о непрерывных или полунепрерывных снизу функциях стоимости, однако во многих задачах, в том числе связанных с двойственностью, рассматриваются разрывные функции стоимости – см., например, [20], [100]. В работе [127] изучено интересное понятие виртуально непрерывной функции в духе некоторого усиления свойства Лузина. В ряде задач такое свойство может заменять обычную непрерывность функций стоимости.

О характеризациях оптимальных планов, проблемах единственности и двойственности см. [109], [111], [119].

Благодарю за полезные обсуждения К. А. Афонина, А. В. Колесникова, Е. Д. Косова, С. Н. Попову и А. В. Резбаева.

Список литературы
1.	B. Acciaio, J. Backhoff-Veraguas, A. Zalashko, “Causal optimal transport and its links to enlargement of filtrations and continuous-time stochastic optimization”, Stochastic Process. Appl., 130:5 (2020), 2918–2953
2.	B. Acciaio, M. Beiglböck, G. Pammer, “Weak transport for non-convex costs and model-independence in a fixed-income market”, Math. Finance, 31:4 (2021), 1423–1453
3.	K. A. Afonin, V. I. Bogachev, “Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters”, Commun. Pure Appl. Anal. (to appear); 2022, 16 pp., arXiv: 2208.02346
4.	J.-J. Alibert, G. Bouchitté, T. Champion, “A new class of costs for optimal transport planning”, European J. Appl. Math., 30:6 (2019), 1229–1263
5.	L. Ambrosio, E. Brué, D. Semola, Lectures on optimal transport, Unitext, 130, Springer, Cham, 2021, ix+250 pp.
6.	L. Ambrosio, M. Erbar, G. Savaré, “Optimal transport, Cheeger energies and contractivity of dynamic transport distances in extended spaces”, Nonlinear Anal., 137 (2016), 77–134
7.	L. Ambrosio, N. Gigli, “A user's guide to optimal transport”, Modelling and optimisation of flows on networks, Lecture Notes in Math., 2062, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Heidelberg, 2013, 1–155
8.	L. Ambrosio, A. Pratelli, “Existence and stability results in the $L^1$ theory of optimal transportation”, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003, 123–160
9.	А. Л. Андрианов, “Развитие линейного программирования в работах Л. В. Канторовича 1930–1950-х гг.”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 25–40
10.	S. Athreya, W. Löhr, A. Winter, “The gap between Gromov-vague and Gromov–Hausdorff-vague topology”, Stochastic Process. Appl., 126:9 (2016), 2527–2553
11.	J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “Adapted Wasserstein distances and stability in mathematical finance”, Finance Stoch., 24:3 (2020), 601–632
12.	J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “All adapted topologies are equal”, Probab. Theory Related Fields, 178:3-4 (2020), 1125–1172
13.	J. Backhoff[-Veraguas], D. Bartl, M. Beiglböck, J. Wiesel, “Estimating processes in adapted Wasserstein distance”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 529–550
14.	J. Backhoff[-Veraguas], M. Beiglböck, Yiqing Lin, A. Zalashko, “Causal transport in discrete time and applications”, SIAM J. Optim., 27:4 (2017), 2528–2562
15.	J. Backhoff-Veraguas, M. Beiglböck, G. Pammer, “Existence, duality, and cyclical monotonicity for weak transport costs”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:6 (2019), 203, 28 pp.
16.	J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Applications of weak transport theory”, Bernoulli, 28:1 (2022), 370–394
17.	J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Stability of martingale optimal transport and weak optimal transport”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 721–752
18.	M. Barbie, A. Gupta, “The topology of information on the space of probability measures over Polish spaces”, J. Math. Econom., 52 (2014), 98–111
19.	D. Bartl, P. Cheridito, M. Kupper, L. Tangpi, “Duality for increasing convex functionals with countably many marginal constraints”, Banach J. Math. Anal., 11:1 (2017), 72–89
20.	M. Beiglböck, M. Goldstern, G. Maresch, W. Schachermayer, “Optimal and better transport plans”, J. Funct. Anal., 256:6 (2009), 1907–1927
21.	M. Beiglböck, N. Juillet, “On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints”, Ann. Probab., 44:1 (2016), 42–106
22.	J.-D. Benamou, G. Carlier, L. Nenna, “Generalized incompressible flows, multi-marginal transport and Sinkhorn algorithm”, Numer. Math., 142:1 (2019), 33–54
23.	J. Bergin, “On the continuity of correspondences on sets of measures with restricted marginals”, Econom. Theory, 13:2 (1999), 471–481
24.	S. Bobkov, M. Ledoux, One-dimensional empirical measures, order statistics, and Kantorovich transport distances, Mem. Amer. Math. Soc., 261, № 1259, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, v+126 pp.
25.	В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 544 с., 576 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, Measure theory, т. I, II, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xviii+500 pp., xiv+575 с.
26.	V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
27.	В. И. Богачев, “О секвенциальных свойствах пространств мер”, Матем. заметки, 110:3 (2021), 459–464        ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “On sequential properties of spaces of measures”, Math. Notes, 110:3 (2021), 449–453
28.	В. И. Богачев, “О приближении мер их конечномерными образами”, Функц. анализ и его прил., 55:3 (2021), 75–81      ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “On approximation of measures by their finite-dimensional images”, Funct. Anal. Appl., 55:3 (2021), 236–241
29.	В. И. Богачев, “Задачи Канторовича с параметром и ограничениями на плотности”, Сиб. матем. журн., 63:1 (2022), 42–57    ; англ. пер.: V. I. Bogachev, “Kantorovich problems with a parameter and density constraints”, Siberian Math. J., 63:1 (2022), 34–47
30.	В. И. Богачев, А. Н. Доледенок, И. И. Малофеев, “Задача Канторовича с параметром и ограничениями на плотность”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 922–926        ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Doledenok, I. I. Malofeev, “The Kantorovich problem with a parameter and density constraints”, Math. Notes, 110:6 (2021), 952–955
31.	В. И. Богачев, А. Н. Калинин, “Непрерывная функция стоимости, для которой минимумы в задачах Монжа и Канторовича не равны”, Докл. РАН, 463:4 (2015), 383–386    ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, “A continuous cost function for which the minima in the Monge and Kantorovich problems are not equal”, Dokl. Math., 92:1 (2015), 452–455
32.	В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича Судакова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73      ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, S. N. Popova, “On the equality of values in the Monge and Kantorovich problems”, J. Math. Sci. (N. Y.), 238:4 (2019), 377–389
33.	В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110        ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov, “The Monge–Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives”, Russian Math. Surveys, 67:5 (2012), 785–890
34.	V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Kantorovich problems and conditional measures depending on a parameter”, J. Math. Anal. Appl., 486:1 (2020), 123883, 30 pp.
35.	V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Nonlinear Kantorovich problems with a parameter”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем., 41 (2022), 96–106
36.	V. Bogachev, S. Popova, Optimal transportation of measures with a parameter, 2021, 14 pp., arXiv: 2111.13014
37.	V. I. Bogachev, S. N. Popova, A. V. Rezbaev, “On nonlinear Kantorovich problems with density constraints”, Moscow Math. J. (to appear)
38.	В. И. Богачев, А. В. Резбаев, “Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки”, Матем. заметки, 112:3 (2022), 360–370    ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Rezbayev, “Existence of solutions to the nonlinear Kantorovich transportation problem”, Math. Notes, 112:3 (2022), 369–377
39.	В. И. Богачев, А. В. Шапошников, “Оценки снизу расстояния Канторовича”, Докл. РАН, 460:6 (2015), 631–633      ; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Shaposhnikov, “Lower bounds for the Kantorovich distance”, Dokl. Math., 91:1 (2015), 91–93
40.	V. I. Bogachev, A. V. Shaposhnikov, Feng-Yu Wang, “Sobolev–Kantorovich inequalities under $\operatorname{CD}(0,\infty)$ condition”, Commun. Contemp. Math., 24:5 (2022), 2150027, 27 pp.
41.	В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, Топологические векторные пространства и их приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2012, 584 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, O. G. Smolyanov, Topological vector spaces and their applications, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2017, x+456 с.
42.	В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “Оценки норм Канторовича на многообразиях”, Докл. РАН, 463:6 (2015), 633–638      ; англ. пер.: V. I. Bogachev, F.-Y. Wang, A. V. Shaposhnikov, “Estimates of the Kantorovich norm on manifolds”, Dokl. Math., 92:1 (2015), 494–499
43.	В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “О неравенствах, связывающих нормы Соболева и Канторовича”, Докл. РАН, 468:2 (2016), 131–133      ; англ. пер.: V. I. Bogachev, F.-Y. Wang, A. V. Shaposhnikov, “On inequalities relating the Sobolev and Kantorovich norms”, Dokl. Math., 93:3 (2016), 256–258
44.	W. Boyer, B. Brown, A. Loving, S. Tammen, “Optimal transportation with constant constraint”, Involve, 12:1 (2019), 1–12
45.	Y. Brenier, D. Vorotnikov, “On optimal transport of matrix-valued measures”, SIAM J. Math. Anal., 52:3 (2020), 2849–2873
46.	H. Brezis, P. Mironescu, “The Plateau problem from the perspective of optimal transport”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 357:7 (2019), 597–612
47.	M. Brückerhoff, N. Juillet, “Instability of martingale optimal transport in dimension $d\ge 2$”, Electron. Commun. Probab., 27 (2022), 24, 10 pp.
48.	D. B. Bukin, “On the Monge and Kantorovich problems for distributions of diffusion processes”, Math. Notes, 96:5 (2014), 864–870
49.	Д. Б. Букин, “О задаче Канторовича для нелинейных образов меры Винера”, Матем. заметки, 100:5 (2016), 682–688        ; англ. пер.: D. B. Bukin, “On the Kantorovich problem for nonlinear images of the Wiener measure”, Math. Notes, 100:5 (2016), 660–665
50.	D. B. Bukin, E. P. Krugova, “Transportation costs for optimal and triangular transformations of Gaussian measures”, Theory Stoch. Process., 23:2 (2018), 21–32
51.	G. Buttazzo, T. Champion, L. De Pascale, “Continuity and estimates for multimarginal optimal transportation problems with singular costs”, Appl. Math. Optim., 78:1 (2018), 185–200
52.	C. Castaing, P. Raynaud de Fitte, M. Valadier, Young measures on topological spaces. With applications in control theory and probability theory, Math. Appl., 571, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, xii+320 pp.
53.	Hong-Bin Chen, J. Niles-Weed, “Asymptotics of smoothed Wasserstein distances”, Potential Anal., 56:4 (2022), 571–595
54.	Yongxin Chen, W. Gangbo, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “On the matrix Monge–Kantorovich problem”, European J. Appl. Math., 31:4 (2020), 574–600
55.	Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “On the relation between optimal transport and Schrödinger bridges: a stochastic control viewpoint”, J. Optim. Theory Appl., 169:2 (2016), 671–691
56.	Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “Stochastic control liaisons: Richard Sinkhorn meets Gaspard Monge on a Schrödinger bridge”, SIAM Rev., 63:2 (2021), 249–313
57.	Yongxin Chen, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “Vector-valued optimal mass transport”, SIAM J. Appl. Math., 78:3 (2018), 1682–1696
58.	P. Cheridito, M. Kiiski, D. J. Prömel, H. M. Soner, “Martingale optimal transport duality”, Math. Ann., 379:3-4 (2021), 1685–1712
59.	L. Chizat, G. Peyré, B. Schmitzer, F.-X. Vialard, “Unbalanced optimal transport: dynamic and Kantorovich formulations”, J. Funct. Anal., 274:11 (2018), 3090–3123
60.	K. J. Ciosmak, “Optimal transport of vector measures”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:6 (2021), 230, 22 pp.
61.	C. Clason, D. A. Lorenz, H. Mahler, B. Wirth, “Entropic regularization of continuous optimal transport problems”, J. Math. Anal. Appl., 494:1 (2021), 124432, 22 pp.
62.	M. Colombo, S. Di Marino, “Equality between Monge and Kantorovich multimarginal problems with Coulomb cost”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 194:2 (2015), 307–320
63.	J. Dedecker, C. Prieur, P. Raynaud De Fitte, “Parametrized Kantorovich–Rubinštein theorem and application to the coupling of random variables”, Dependence in probability and statistics, Lect. Notes Stat., 187, Springer, New York, 2006, 105–121
64.	А. Н. Доледенок, “О задаче Канторовича с ограничением на плотность”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 45–55        ; англ. пер.: A. N. Doledenok, “On a Kantorovich problem with a density constraint”, Math. Notes, 104:1 (2018), 39–47
65.	Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 752 с.  ; пер. с англ.: R. Engelking, General topology, Transl. from the Polish, Sigma Ser. Pure Math., 6, 2nd ed., Heldermann Verlag, Berlin, 1989, viii+529 с.
66.	A. Figalli, F. Glaudo, An invitation to optimal transport, Wasserstein distances, and gradient flows, EMS Textbk. Math., EMS Press, Berlin, 2021, vi+136 pp.
67.	G. Friesecke, “A simple counterexample to the Monge ansatz in multimarginal optimal transport, convex geometry of the set of Kantorovich plans, and the Frenkel–Kontorova model”, SIAM J. Math. Anal., 51:6 (2019), 4332–4355
68.	G. Friesecke, D. Matthes, B. Schmitzer, “Barycenters for the Hellinger–Kantorovich distance over $\mathbb{R}^d$”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 62–110
69.	A. Galichon, Optimal transport methods in economics, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2016, xii+170 pp.
70.	I. Gentil, C. Léonard, L. Ripani, “Dynamical aspects of the generalized Schrödinger problem via Otto calculus – a heuristic point of view”, Rev. Mat. Iberoam., 36:4 (2020), 1071–1112
71.	A. Gerolin, A. Kausamo, T. Rajala, “Nonexistence of optimal transport maps for the multimarginal repulsive harmonic cost”, SIAM J. Math. Anal., 51:3 (2019), 2359–2371
72.	M. Ghossoub, D. Saunders, “On the continuity of the feasible set mapping in optimal transport”, Econ. Theory Bull., 9:1 (2021), 113–117
73.	N. Ghoussoub, Young-Heon Kim, Tongseok Lim, “Structure of optimal martingale transport plans in general dimensions”, Ann. Probab., 47:1 (2019), 109–164
74.	N. Ghoussoub, B. Maurey, “Remarks on multi-marginal symmetric Monge–Kantorovich problems”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1465–1480
75.	N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “On multistochastic Monge–Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:5 (2019), 173, 33 pp.
76.	N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “The multistochastic Monge–Kantorovich problem”, J. Math. Anal. Appl., 506:2 (2022), 125666, 82 pp.
77.	N. A. Gladkov, A. P. Zimin, “An explicit solution for a multimarginal mass transportation problem”, SIAM J. Math. Anal., 52:4 (2020), 3666–3696
78.	J. Goubault-Larrecq, “Kantorovich–Rubinstein quasi-metrics I: Spaces of measures and of continuous valuations”, Topology Appl., 295 (2021), 107673, 37 pp.
79.	F. de Gournay, J. Kahn, L. Lebrat, “Differentiation and regularity of semi-discrete optimal transport with respect to the parameters of the discrete measure”, Numer. Math., 141:2 (2019), 429–453
80.	N. Gozlan, C. Roberto, P.-M. Samson, P. Tetali, “Kantorovich duality for general transport costs and applications”, J. Funct. Anal., 273:11 (2017), 3327–3405
81.	C. Griessler, “$C$-cyclical monotonicity as a sufficient criterion for optimality in the multimarginal Monge–Kantorovich problem”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4735–4740
82.	M. Huesmann, D. Trevisan, “A Benamou–Brenier formulation of martingale optimal transport”, Bernoulli, 25:4A (2019), 2729–2757
83.	M. Iacobelli, “A new perspective on Wasserstein distances for kinetic problems”, Arch. Ration. Mech. Anal., 244:1 (2022), 27–50
84.	Л. В. Канторович, “О перемещении масс”, Докл. АН СССР, 37:7-8 (1942), 227–229; англ. пер.: L. Kantorovitch, “On the translocation of masses”, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.), 37 (1942), 199–201
85.	Л. В. Канторович, Математико-экономические работы, Избранные труды, Наука, Новосибирск, 2011, 760 с.
86.	Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, 2-е изд., Наука, М., 1977, 742 с.  ; англ. пер.: L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Functional analysis, Pergamon Press, Oxford–Elmsford, N. Y., 1982, xiv+589 с.
87.	Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах”, Докл. АН СССР, 115:6 (1957), 1058–1061
88.	Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном пространстве вполне аддитивных функций множества”, Вестн. ЛГУ, 13:7 (1958), 52–59
89.	S. Kondratyev, L. Monsaingeon, D. Vorotnikov, “A new optimal transport distance on the space of finite Radon measures”, Adv. Differential Equations, 21:11-12 (2016), 1117–1164
90.	J. Korman, R. J. McCann, “Insights into capacity-constrained optimal transport”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 110:25 (2013), 10064–10067
91.	J. Korman, R. J. McCann, “Optimal transportation with capacity constraints”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:3 (2015), 1501–1521
92.	J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “Dual potentials for capacity constrained optimal transport”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 54:1 (2015), 573–584
93.	J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “An elementary approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport”, J. Convex Anal., 22:3 (2015), 797–808
94.	В. В. Козлов, “Задача Монжа ‘о выемках и насыпях’ на торе и проблема малых знаменателей”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1370–1374        ; англ. пер.: V. V. Kozlov, “The Monge problem of ‘piles and holes’ on the torus and the problem of small denominators”, Siberian Math. J., 59:6 (2018), 1090–1093
95.	D. Kramkov, Yan Xu, “An optimal transport problem with backward martingale constraints motivated by insider trading”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 294–326
96.	S. Kuksin, V. Nersesyan, A. Shirikyan, “Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise”, Geom. Funct. Anal., 30:1 (2020), 126–187
97.	R. Lassalle, “Causal transport plans and their Monge–Kantorovich problems”, Stoch. Anal. Appl., 36:3 (2018), 452–484
98.	C. Léonard, “From the Schrödinger problem to the Monge–Kantorovich problem”, J. Funct. Anal., 262:4 (2012), 1879–1920
99.	C. Léonard, “A survey of the Schrödinger problem and some of its connections with optimal transport”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1533–1574
100.	В. Л. Левин, А. А. Милютин, “Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач”, УМН, 34:3(207) (1979), 3–68      ; англ. пер.: V. L. Levin, A. A. Milyutin, “The problem of mass transfer with a discontinuous cost function and a mass statement of the duality problem for convex extremal problems”, Russian Math. Surveys, 34:3 (1979), 1–78
101.	M. Liero, A. Mielke, G. Savaré, “Optimal entropy-transport problems and a new Hellinger–Kantorovich distance between positive measures”, Invent. Math., 211:3 (2018), 969–1117
102.	А. А. Липчюс, “Замечание о равенстве в задачах Монжа и Канторовича”, Теория вероятн. и ее примен., 50:4 (2005), 779–782        ; англ. пер.: A. A. Lipchius, “A note on the equality in the Monge and Kantorovich problems”, Theory Probab. Appl., 50:4 (2006), 689–693
103.	Chong Liu, A. Neufeld, “Compactness criterion for semimartingale laws and semimartingale optimal transport”, Trans. Amer. Math. Soc., 372:1 (2019), 187–231
104.	W. Löhr, “Equivalence of Gromov–Prohorov- and Gromov's ${\underline\square}_\lambda$-metric on the space of metric measure spaces”, Electron. Commun. Probab., 18 (2013), 17, 10 pp.
105.	D. A. Lorenz, P. Manns, C. Meyer, “Quadratically regularized optimal transport”, Appl. Math. Optim., 83:3 (2021), 1919–1949
106.	A. Marchese, A. Massaccesi, S. Stuvard, R. Tione, “A multi-material transport problem with arbitrary marginals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:3 (2021), 88, 49 pp.
107.	R. J. McCann, L. Rifford, “The intrinsic dynamics of optimal transport”, J. Éc. Polytech. Math., 3 (2016), 67–98
108.	T. Mikami, Stochastic optimal transportation. Stochastic control with fixed marginals, SpringerBriefs Math., Springer, Singapore, 2021, xi+121 pp.
109.	A. Moameni, “A characterization for solutions of the Monge–Kantorovich mass transport problem”, Math. Ann., 365:3-4 (2016), 1279–1304
110.	A. Moameni, B. Pass, “Solutions to multi-marginal optimal transport problems concentrated on several graphs”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 23:2 (2017), 551–567
111.	A. Moameni, L. Rifford, “Uniquely minimizing costs for the Kantorovitch problem”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 29:3 (2020), 507–563
112.	A. Neufeld, J. Sester, “On the stability of the martingale optimal transport problem: a set-valued map approach”, Statist. Probab. Lett., 176 (2021), 109131, 7 pp.
113.	B. Pass, “Multi-marginal optimal transport: theory and applications”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 49:6 (2015), 1771–1790
114.	B. W. Pass, A. Vargas-Jiménez, “Multi-marginal optimal transportation problem for cyclic costs”, SIAM J. Math. Anal., 53:4 (2021), 4386–4400
115.	M. Petrache, “Cyclically monotone non-optimal $N$-marginal transport plans and Smirnov-type decompositions for $N$-flows”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 26 (2020), 120, 11 pp.
116.	G. Ch. Pflug, A. Pichler, Multistage stochastic optimization, Springer Ser. Oper. Res. Financ. Eng., Springer, Cham, 2014, xiv+301 pp.
117.	A. Pratelli, “On the equality between Monge's infimum and Kantorovich's minimum in optimal mass transportation”, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 43:1 (2007), 1–13
118.	S. T. Rachev, L. Rüschendorf, Mass transportation problems, v. I, Probab. Appl. (N. Y.), Theory, Springer-Verlag, New York, 1998, xxvi+508 pp.      ; v. II, Applications, xxvi+430 pp.
119.	P. Rigo, “A note on duality theorems in mass transportation”, J. Theoret. Probab., 33:4 (2020), 2337–2350
120.	F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 87, Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xxvii+353 pp.
121.	A. Savchenko, M. Zarichnyi, “Correspondences of probability measures with restricted marginals”, Proc. Intern. Geom. Center, 7:4 (2014), 34–39
122.	B. Schmitzer, B. Wirth, “A framework for Wasserstein-$1$-type metrics”, J. Convex Anal., 26:2 (2019), 353–396
123.	T. Shioya, Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 25, EMS Publishing House, Zürich, 2016, xi+182 pp.
124.	В. М. Тихомиров, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 16–24
125.	A. M. Vershik, “Long history of the Monge–Kantorovich transportation problem”, Math. Intelligencer, 35:4 (2013), 1–9
126.	А. М. Вершик, С. С. Кутателадзе, С. П. Новиков, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, УМН, 67:3(405) (2012), 185–191        ; англ. пер.: A. M. Vershik, S. S. Kutateladze, S. P. Novikov, “Leonid Vital'evich Kantorovich (on the 100th anniversary of his birth)”, Russian Math. Surveys, 67:3 (2012), 589–597
127.	А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения”, УМН, 69:6(420) (2014), 81–114        ; англ. пер.: A. M. Vershik, P. B. Zatitskii, F. V. Petrov, “Virtual continuity of measurable functions and its applications”, Russian Math. Surveys, 69:6 (2014), 1031–1063
128.	C. Villani, Topics in optimal transportation, Grad. Stud. Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xvi+370 pp.
129.	C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xxii+973 pp.
130.	J. Wiesel, Continuity of the martingale optimal transport problem on the real line, 2022 (v1 – 2019), 46 pp., arXiv: 1905.04574
131.	G. Wolansky, Optimal transport. A semi-discrete approach, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 37, De Gruyter, Berlin, 2021, xii+208 pp.
132.	Д. А. Заев, “О задаче Монжа–Канторовича с дополнительными линейными ограничениями”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 664–683        ; англ. пер.: D. A. Zaev, “On the Monge–Kantorovich problem with additional linear constraints”, Math. Notes, 98:5 (2015), 725–741
133.	Д. А. Заев, “Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 437, ПОМИ, СПб., 2015, 100–130      ; англ. пер.: D. A. Zaev, “On ergodic decompositions related to the Kantorovich problem”, J. Math. Sci. (N. Y.), 216:1 (2016), 65–83
134.	Xicheng Zhang, “Stochastic Monge–Kantorovich problem and its duality”, Stochastics, 85:1 (2013), 71–84

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Bog22}
\by В.~И.~Богачев
\paper Задача~Канторовича оптимальной~транспортировки~мер: новые направления исследований
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 5(467)
\pages 3--52
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10074}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10074}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582586}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..769B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 5
\pages 769--817
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10074e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992306600001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165386437}