Abstract
This paper offers solutions to unresolved $43{\leq}R(5,5){\leq}49$ and $102{\leq}R(6,6){\leq}165$ problems of Ramsey's number. The Ramsey's number R(s,t) of a complete graph $k_n$ dictates that n-1 number of incidental edges of a arbitrary vertex ${\upsilon}$ is dichotomized into two colors: (n-1)/2=R and (n-1)/2=B. Therefore, if one introduces the concept of distance to the vertex ${\upsilon}$, one may construct a partite graph $K_n=K_L+{\upsilon}+K_R$, to satisfy (n-1)/2=R of {$K_L,{\upsilon}$} and (n-1)/2=B of {${\upsilon},K_R$}. Subsequently, given that $K_L$ forms the color R of $K_{s-1)$, $K_S$ is attainable. Likewise, given that $K_R$ forms the color B of $K_{t-1}$, $K_t$ is obtained. By following the above-mentioned steps, $R(s,t)=K_n$ was obtained, satisfying necessary and sufficient conditions where, for $K_L$ and $K_R$, the maximum distance should be even and incidental edges of all vertices should be equal are satisfied. This paper accordingly proves R(5,5)=43 and R(6,6)=91.
본 논문은 램지 수에 대해 해결하지 못한 $43{\leq}R(5,5){\leq}49$와 $102{\leq}R(6,6){\leq}165$의 문제를 해결하였다. $k_n$ 완전 그래프의 램지 수 R(s,t)는 임의의 정점 ${\upsilon}$의 n-1개 부속 간선수가 (n-1)/2=R과 (n-1)/2=B의 2가지 색으로 정확히 양분된다. 따라서 임의의 정점 ${\upsilon}$로부터 거리 개념을 적용하여 {$K_L,{\upsilon}$}의 (n-1)/2=R, ${\upsilon},K_R$의 (n-1)/2=B색이 되도록 $K_n=K_L+{\upsilon}+K_R$ 분할 그래프를 형성하였다. 이로부터 $K_L$이 $K_{s-1)$의 R색을 형성하면 $K_s$를 얻을 수 있다. $K_R$이 $K_{t-1}$의 B색을 형성하면 $K_t$를 얻는다. $K_L$과 $K_R$의 최대 거리는 짝수와 모든 정점의 부속 간선 수는 동일하다는 필요충분조건을 만족시키는 $R(s,t)=K_n$을 구하였다. 결국, R(5,5)=43과 R(6,6)=91을 증명하였다.